2014-福建卷理-17 解-面面垂直

本题导读

本题以平面图形的翻折为背景，考查立体几何中的垂直关系证明及空间角的计算。第一问利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，进而证明线线垂直；第二问通过建立空间直角坐标系，利用平面法向量求解直线与平面所成角的正弦值，属于典型的“一现二建三算”立体几何综合题。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB=BD=CD=1$，$AB\perp BD,CD\perp BD$.将 $△ABD$ 沿 $BD$ 折起，使得平面 $ABD\perp$ 平面 $BCD$，如图.

(1) 求证：$AB\perp CD$；

(2) 若 $M$ 为 $AD$ 中点，求直线 $AD$ 与平面 $MBC$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：要证明 $AB\perp CD$，可先证明 $AB$ 垂直于 $CD$ 所在的平面 $BCD$。已知条件给出了面面垂直（平面 $ABD\perp$ 平面 $BCD$）以及交线（$BD$），且在平面 $ABD$ 内有 $AB\perp BD$。利用面面垂直的性质定理即可推导出 $AB\perp$ 平面 $BCD$，进而得到 $AB\perp CD$。
2. 第二问分析：利用第一问的结论 $AB\perp$ 平面 $BCD$ 以及原有的平面几何垂直关系，可以以点 $B$ 为原点构建空间直角坐标系。求出各关键点（$B,C,D,A,M$）的坐标后，求出平面 $MBC$ 的法向量 $\vec{n}$ 以及直线 $AD$ 的方向向量 $\overrightarrow{AD}$。直线与平面所成角 $\theta$ 的正弦值即为法向量与直线方向向量所成角的余弦值的绝对值，即 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{AD}⟩|$。

✅【答案】

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所以 $AB\perp CD$。；即直线 $AD$ 与平面 $MBC$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 平面 $ABD\perp$ 平面 $BCD$，且 平面 $ABD\cap$ 平面 $BCD=BD$。 又因为 $AB\subset$ 平面 $ABD$，且 $AB\perp BD$， 根据面面垂直的性质定理，可得 $AB\perp$ 平面 $BCD$。 又因为 $CD\subset$ 平面 $BCD$， 所以 $AB\perp CD$。

(2) 解： 过点 $B$ 在平面 $BCD$ 内作 $BE\perp BD$。 由(1)知 $AB\perp$ 平面 $BCD$，又 $BE\subset$ 平面 $BCD$，$BD\subset$ 平面 $BCD$， 所以 $AB\perp BE$，$AB\perp BD$。 以 $B$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 $B-xyz$。

依题意，原平行四边形中 $CD\perp BD$ 且 $CD=1,BD=1$，故翻折后在 $xy$ 平面内，点 $C$ 的坐标为 $(1,1,0)$。 从而可得各点坐标为： $B(0,0,0)$， $C(1,1,0)$， $D(0,1,0)$， $A(0,0,1)$。 因为 $M$ 为 $AD$ 的中点，由中点坐标公式得：$M(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。

则相关的向量为： $\overrightarrow{BC}=(1,1,0)$， $\overrightarrow{BM}=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$， $\overrightarrow{AD}=(0,1,-1)$。

设平面 $MBC$ 的法向量为 $\vec{n}=(x_0,y_0,z_0)$，则由 $\vec{n}\perp \overrightarrow{BC}$ 且 $\vec{n}\perp \overrightarrow{BM}$ 得： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{BM}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_0+y_0=0\\ \frac{1}{2}{y}_0+\frac{1}{2}{z}_0=0\end{array}$ 令 $z_0=1$，则 $y_0=-1$，$x_0=1$。 所以平面 $MBC$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(1,-1,1)$。

设直线 $AD$ 与平面 $MBC$ 所成角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{AD}⟩|=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{AD}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{AD}|}$ $=\frac{|1\times 0+(-1)\times 1+1\times (-1)|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}\times \sqrt{0^2+1^2+(-1{)}^2}}$ $=\frac{|-2|}{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

即直线 $AD$ 与平面 $MBC$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直性质定理、线面垂直判定与线面角

2. 核心方法：用面面垂直性质证 $AB\perp$ 平面 $BCD$，建系用法向量求线面角正弦值

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 翻折问题中的面面垂直性质定理

2. 结论推广: 线面角正弦值 $=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{a}|}{|\vec{n}||\vec{a}|}$。

3. 方法推广: 可迁移到翻折型立体几何证垂直、求线面角类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-18 解-线面垂直
• 2013-福建卷理-19 解-线面垂直
• 2013-湖南卷理-19 解-线面垂直