2014-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题是重庆理科卷的压轴大题。第一问考查椭圆基本量的求解；第二问综合考查圆与椭圆的位置关系、切线的垂直性以及圆的对称性，需要建立向量方程求解交点坐标，对逻辑推理和代数运算能力要求极高。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 如题(21)图，设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $D$ 在椭圆上，$D{F}_1\perp F_1{F}_2$，$\frac{|F_1{F}_2|}{|D{F}_1|}=2\sqrt{2}$，$△D{F}_1{F}_2$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求该椭圆的标准方程；

(2) 设圆心在 $y$ 轴上的圆与椭圆在 $x$ 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：
   • 根据 $D{F}_1\perp F_1{F}_2$，判定 $△D{F}_1{F}_2$ 为直角三角形。
   • 利用面积公式 $S=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|\cdot |D{F}_1|$ 结合已知比例关系求出焦距 $c$。
   • 利用勾股定理求出焦半径 $|D{F}_2|$，再通过椭圆定义 $|D{F}_1|+|D{F}_2|=2a$ 求得 $a$，进而确定方程。
2. 第二问分析：
   • 对称性利用：圆心在 $y$ 轴，椭圆关于 $y$ 轴对称，故两个交点 $P_1,P_2$ 关于 $y$ 轴对称，纵坐标相等。
   • 切线垂直与焦点关系：设交点 $P_1(x_1,y_1)$，其切线过 $F_1(-c,0)$，由于切线垂直于半径 $C{P}_1$，且题目给出的切线互相垂直，可转化为向量数量积关系。
   • 坐标求解：利用点在椭圆上及切线垂直（向量 $\overrightarrow{F_1{P}_1}\cdot \overrightarrow{F_2{P}_2}=0$）列方程，解出交点坐标。
   • 几何性质求半径：利用四边形 $C{P}_{1}F{P}_2$ 的几何特征（如正方形或等腰直角三角形关系）计算半径。

✅【答案】

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(1) 求椭圆的标准方程；(2)求圆的半径

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求椭圆的标准方程 设 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，则 $|F_1{F}_2|=2c$。 由 $D{F}_1\perp F_1{F}_2$，知 $D$ 点坐标为 $(-c,y_D)$。 由 $\frac{|F_1{F}_2|}{|D{F}_1|}=2\sqrt{2}$，得 $|D{F}_1|=\frac{2c}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}c$。 由 $S_{△D{F}_1{F}_2}=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|\cdot |D{F}_1|=\frac{1}{2}\cdot 2c\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}c=\frac{\sqrt{2}}{2}{c}^2$。 已知面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $\frac{\sqrt{2}}{2}{c}^2=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹c=1$。 此时 $|D{F}_1|=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 在 $Rt△D{F}_1{F}_2$ 中，$|D{F}_2|=\sqrt{|D{F}_1{|}^2+|F_1{F}_2{|}^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2+2^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。 由椭圆定义：$2a=|D{F}_1|+|D{F}_2|=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}⟹a=\sqrt{2}$。 则 $b^2=a^2-c^2=2-1=1$。 故椭圆方程为：$\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

(2) 求圆的半径 由椭圆对称性，设两个交点为 $P_1(x_1,y_1),P_2(-x_1,y_1)$，其中 $y_1>0$。 焦点为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$。 切线 $F_1{P}_1\perp F_2{P}_2$（由对称性，若 $F_1{P}_1\perp F_2{P}_2$，则整个系统垂直）。 $\overrightarrow{F_1{P}_1}=(x_1+1,y_1)$，$\overrightarrow{F_2{P}_2}=(-x_1-1,y_1)$。 由 $\overrightarrow{F_1{P}_1}\cdot \overrightarrow{F_2{P}_2}=0$ 得： $-(x_1+1{)}^2+y_1^2=0⟹y_1^2=(x_1+1{)}^2$。 又 $P_1$ 在椭圆上，故 $y_1^2=1-\frac{x_1^2}{2}$。 代入得：$1-\frac{x_1^2}{2}=(x_1+1{)}^2$ $1-\frac{x_1^2}{2}=x_1^2+2x_1+1$ $\frac{3}{2}{x}_1^2+2x_1=0⟹x_1(3x_1+4)=0$。 解得 $x_1=0$（舍去，此时点重合）或 $x_1=-\frac{4}{3}$。 当 $x_1=-\frac{4}{3}$ 时，$y_1=|x_1+1|=|-\frac{4}{3}+1|=\frac{1}{3}$。 交点为 $P_1(-\frac{4}{3},\frac{1}{3}),P_2(\frac{4}{3},\frac{1}{3})$。 此时 $|P_1{P}_2|=2|x_1|=\frac{8}{3}$。 由于圆的切线 $F_1{P}_1\perp F_2{P}_2$，且圆心 $C$ 在 $y$ 轴上，利用圆的几何性质（切线垂直且对称），公共点、圆心及切线交点构成等腰直角三角形关系。 半径 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}|P_1{P}_2|=\sqrt{2}|x_1|=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。

故圆的半径为 $\frac{4\sqrt{2}}{3}$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆标准方程与圆的切线垂直关系。

2. 核心方法：由 $D{F}_1\perp F_1{F}_2$ 与面积求 $c$、定义求 $a$；由切线垂直对称性求半径。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆定义与圆的对称性、切线性质。

2. 结论推广: 垂直切线过两焦点时交点关于 $y$ 轴对称。

3. 方法推广: 利用对称性与向量垂直列方程求交点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 05.02 函数的四大性质
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

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