2014-陕西卷文-15 填-三选一

本题导读

A 用柯西不等式；B 先证四点共圆再找相似；C 化为直角坐标后用距离公式。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题） 设 $a$，$b$，$m$，$n\in \mathbf{R}$，且 $a^2+b^2=5$，$ma+nb=5$，则 $\sqrt{m^2+n^2}$ 的最小值为$\underline{}$. B.（几何证明选做题） 如图，$△ABC$ 中，$BC=6$，以 $BC$ 为直径的半圆分别交 $AB$，$AC$ 于点 $E$，$F$，若 $AC=2AE$，则 $EF=$ $\underline{}$.

C.（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，点 $\left(2,\frac{\pi }{6}\right)$ 到直线 $\rho \sin \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)=1$ 的距离是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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A：$(ma+nb{)}^2⩽(m^2+n^2)(a^2+b^2)$；B：四点共圆得 $△AEF\sim △ACB$；C：先化直角坐标。

✅【答案】

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A. $\sqrt{5}$；B. $3$；C. $1$

✍【详细解析】

Abstract

A：由柯西不等式，$(ma+nb{)}^2⩽(m^2+n^2)(a^2+b^2)$，即 $25⩽(m^2+n^2)\times 5$，故 $m^2+n^2⩾5$，$\sqrt{m^2+n^2}⩾\sqrt{5}$。 等号成立当且仅当 $\frac{m}{a}=\frac{n}{b}$（例如 $a=b=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$m=n=\frac{\sqrt{10}}{2}$，此时 $m^2+n^2=5$），故最小值为 $\sqrt{5}$。 B：因为 $BC$ 为直径，$E$，$F$ 在半圆上，所以 $\angle BEC=\angle BFC=90^{\circ }$，故 $B$，$E$，$F$，$C$ 四点共圆。 由圆内接四边形的外角等于内对角得 $\angle AEF=\angle ACB$，又 $\angle A$ 为公共角，所以 $△AEF\sim △ACB$。 于是 $\frac{EF}{CB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，故 $EF=\frac{1}{2}\times 6=3$。 C：点 $\left(2,\frac{\pi }{6}\right)$ 的直角坐标为 $\left(2\cos \frac{\pi }{6},2\sin \frac{\pi }{6}\right)=(\sqrt{3},1)$。 把 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$ 代入 $\rho \sin \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)=1$，得 $\rho \left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{6}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{6}\right)=1$，即 $\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{1}{2}x=1$，也就是 $x-\sqrt{3}y+2=0$。 由点到直线的距离公式，$d=\frac{|\sqrt{3}-\sqrt{3}\times 1+2|}{\sqrt{1+3}}=\frac{2}{2}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：柯西不等式、圆内接四边形与相似三角形、极坐标与直角坐标互化

2. 核心方法：柯西不等式整体配凑 / 圆幂与相似比 / 化直角坐标后用距离公式

3. 避坑指南：B 中 $E$，$F$ 在以 $BC$ 为直径的圆上，所以 $\angle BEC=\angle BFC=90^{\circ }$，四点共圆后「外角等于内对角」得 $△AEF\sim △ACB$；C 中极坐标方程必须先化成直角坐标方程再用距离公式，直接在极坐标下套公式容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 柯西不等式（选修 4-5）、圆内接四边形与相似三角形（选修 4-1）、极坐标与直角坐标的互化（选修 4-4）。

2. 结论推广: $(ma+nb{)}^2⩽(m^2+n^2)(a^2+b^2)$；圆内接四边形外角等于内对角；$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$。

3. 方法推广: 三道选做题各有固定入口：不等式题找「平方和与乘积和」的柯西结构；几何证明题先找四点共圆；极坐标题先化直角坐标再算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式
• 17.07 圆幂定理
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-15 填-柯西不等式
• 2014-广东卷文-15 填-几何证明选讲