2014-陕西卷理-13 填-向量平行的坐标表示

本题导读

本题考查向量共线的坐标表示以及三角函数的恒等变换。解题关键在于利用向量平行条件建立三角方程，并通过二倍角公式和同角基本关系求解。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 设 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，向量 $\vec{a}=(\sin 2\theta ,\cos \theta )$，$\vec{b}=(\cos \theta ,1)$.若 $\vec{a}\parallel \vec{b}$，则 $\tan \theta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用向量平行条件：对于非零向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$ 和 $\vec{b}=(x_2,y_2)$，$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。
2. 建立三角方程：代入坐标得 $\sin 2\theta \cdot 1-\cos \theta \cdot \cos \theta =0$。
3. 恒等变换：利用正弦的二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 展开方程。
4. 求解结果：结合给定的范围 $\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$，判断 $\cos \theta$ 是否为 0，从而化简方程求得 $\tan \theta$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立方程 因为 $\vec{a}\parallel \vec{b}$，根据向量平行的坐标表示公式： $\sin 2\theta \times 1-\cos \theta \times \cos \theta =0$ 即： $\sin 2\theta ={\cos }^2\theta$

第二步：三角恒等变换 利用二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，代入上式得： $2\sin \theta \cos \theta ={\cos }^2\theta$ 整理得： $2\sin \theta \cos \theta -{\cos }^2\theta =0$ $\cos \theta (2\sin \theta -\cos \theta )=0$

第三步：结合范围求解 因为 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$， 在此范围内，$\cos \theta \ne 0$。 所以方程两边可以同时除以 $\cos \theta$，得： $2\sin \theta -\cos \theta =0$ 即： $2\sin \theta =\cos \theta$

由同角三角函数的基本关系 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$，两边同除以 $2\cos \theta$ 得： $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1}{2}$ 所以： $\tan \theta =\frac{1}{2}$

【答案】 $\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量共线（平行）的坐标充要条件。

2. 核心方法：公式法。熟练掌握 $\sin 2\theta$ 的展开以及 $\tan \theta$ 的定义。

3. 避坑指南：在方程两边约去 $\cos \theta$ 时，务必先根据 $\theta$ 的范围确认 $\cos \theta$ 不等于 0，否则会产生漏解或逻辑错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面向量的模、夹角公式。

2. 结论推广: 若 $\vec{a}\perp \vec{b}$，则条件变为 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。

3. 方法推广: 涉及 $\sin \theta ,\cos \theta$ 的齐次式（如本题中的 $2\sin \theta =\cos \theta$）均可通过除以 $\cos \theta$ 转化为关于 $\tan \theta$ 的方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-03 单-向量坐标
• 2013-湖北卷理-06 单-向量坐标
• 2013-天津卷理-17 解-坐标表示