2014-陕西卷理-16 解-正余弦定理

本题导读

本题考查三角形中的边角关系，结合了数列的等差、等比性质。第一问利用正弦定理进行边向角的转化；第二问利用余弦定理建立函数关系，并通过基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） $\Delta ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.

(1) 若 $a,b,c$ 成等差数列，证明：$\sin A+\sin C=2\sin (A+C)$；

(2) 若 $a,b,c$ 成等比数列，求 $\cos B$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问证恒等式：
   • 根据等差数列性质得 $a+c=2b$。
   • 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，将边转化为角。
   • 利用诱导公式 $\sin B=\sin [\pi -(A+C)]=\sin (A+C)$ 完成证明。
2. 第二问求最值：
   • 根据等比数列性质得 $b^2=ac$。
   • 代入余弦定理公式 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。
   • 利用基本不等式 $a^2+c^2\ge 2ac$ 对表达式进行放缩。

✅【答案】

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故原命题得证。；所以 $\cos B$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $a,b,c$ 成等差数列， 所以 $a+c=2b$。 由正弦定理得：$2R\sin A+2R\sin C=2(2R\sin B)$， 即 $\sin A+\sin C=2\sin B$。 在 $\Delta ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，则 $B=\pi -(A+C)$。 所以 $\sin B=\sin [\pi -(A+C)]=\sin (A+C)$。 代入上式得：$\sin A+\sin C=2\sin (A+C)$。 故原命题得证。

(2) 解： 因为 $a,b,c$ 成等比数列， 所以 $b^2=ac$。 由余弦定理得： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+c^2-ac}{2ac}$ 将式子变形为： $\cos B=\frac{a^2+c^2}{2ac}-\frac{ac}{2ac}=\frac{a^2+c^2}{2ac}-\frac{1}{2}$ 根据基本不等式，因为 $a,c>0$，所以 $a^2+c^2\ge 2ac$。 则有： $\frac{a^2+c^2}{2ac}\ge \frac{2ac}{2ac}=1$ 故： $\cos B\ge 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ 当且仅当 $a=c$ 时，等号成立（此时三角形为等边三角形）。 所以 $\cos B$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理的综合应用，以及边角互化思想。

2. 核心方法：在处理边角混合题目时，通常先统一化为“全角”或“全边”形式。

3. 避坑指南：求 $\cos B$ 最值时，一定要检查等号成立的条件（$a=c$）是否符合三角形构成条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列与三角函数的跨板块综合、内角和定理。

2. 结论推广: 若 $a,b,c$ 成等比数列，则角 $B$ 的取值范围是 $(0,\frac{\pi }{3}]$。

3. 方法推广: 面对 $\frac{x^2+y^2}{xy}$ 结构的式子，第一反应应当是利用基本不等式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-17 解-正余弦定理
• 2013-江苏卷-18 解-正余弦定理
• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理