2014-陕西卷理-19 解-离散型随机变量及其分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列以及独立重复试验的概率计算。第一问需根据利润计算公式通过枚举所有可能情况列出分布列；第二问需识别其为二项分布模型进行求解。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

作物产量 (kg)	300	500
概率	0.5	0.5

作物市场价格 (元/kg)	6	10
概率	0.4	0.6

(1) 设 $X$ 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 $X$ 的分布列；

(2) 若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：列分布列
   • 定义变量取值：利润 = 产量 $\times$ 价格 - 成本(1000)。
   • 枚举情况：产量与价格各有 2 种情况，组合出 4 种可能的利润值。
   • 计算概率：由于产量与价格互不影响（相互独立），对应情况的概率直接相乘。若利润值相同则需合并。
2. 第二问：独立重复试验
   • 单次成功概率：从第一问分布列中找出 $X\ge 2000$ 的概率 $p$。
   • 识别模型：连续 3 季种植相当于 3 次独立重复试验，设成功季数为 $Y$，则 $Y\sim B(3,p)$。
   • 计算目标：求 $P(Y\ge 2)$，即 $P(Y=2)+P(Y=3)$。

✅【答案】

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0.896

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： $X$ 的所有可能取值为：

• $500\times 10-1000=4000$ (元)
• $500\times 6-1000=2000$ (元)
• $300\times 10-1000=2000$ (元)
• $300\times 6-1000=800$ (元)

计算各取值对应的概率：

• $P(X=4000)=0.5\times 0.6=0.3$；
• $P(X=2000)=0.5\times 0.4+0.5\times 0.6=0.2+0.3=0.5$；
• $P(X=800)=0.5\times 0.4=0.2$。

所以 $X$ 的分布列为：

$X$	4000	2000	800
$P$	0.3	0.5	0.2

(2) 解： 设 $C$ 为事件“一季的利润不少于 2000 元”，则： $P(C)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8$ 设这 3 季中利润不少于 2000 元的季数为 $Y$，则 $Y\sim B(3,0.8)$。

所求概率为： $P(Y\ge 2)=P(Y=2)+P(Y=3)$ $P(Y\ge 2)=C_3^2\times 0.8^2\times (1-0.8{)}^1+C_3^3\times 0.8^3\times (1-0.8{)}^0$ $P(Y\ge 2)=3\times 0.64\times 0.2+1\times 0.512$ $P(Y\ge 2)=0.384+0.512=0.896$

所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.896。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量分布列的性质（概率之和为 1）、二项分布的概率计算公式。

2. 核心方法：在概率题中，明确“利润”与“成本”的关系是第一步。计算独立重复试验时，先求出单次试验成功的概率 $p$ 是解题关键。

3. 避坑指南：注意“不少于”包含等于的情形。在第一问中，利润 2000 出现了两次，分布列中必须合并为一个值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正态分布、期望与方差。

2. 结论推广: 若求 3 季利润的期望 $E(3X)$，根据期望性质应为 $3E(X)=3(4000\times 0.3+2000\times 0.5+800\times 0.2)$。

3. 方法推广: 面对“至少 $k$ 个”问题，若 $k$ 较大，通常考虑对立事件 $1-P(Y<k)$ 进行简化计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-08 填-分布列
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-江西卷理-18 解-分布列