2015-上海卷文-16 单-分式不等式

本题导读

考查分式不等式的同解变形。先判断分母的符号，再决定”去分母时是否变号”。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 下列不等式中，与不等式 $\frac{x+8}{x^2+2x+3}<2$ 解集相同的是 ()

A. $(x+8)(x^2+2x+3)<2$　　　　　　　　　　　　B. $x+8<2(x^2+2x+3)$

C. $\frac{1}{x^2+2x+3}<\frac{2}{x+8}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2+2x+3}{x+8}>\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 盯住分母 $x^2+2x+3$，配方看看它是正是负。
2. 分母恒正 ⟹ 两边同乘分母不变号，直接去分母即为同解变形。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

配方得

$x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2⩾2>0,$

即分母恒为正。

所以原不等式两边同乘 $(x^2+2x+3)$（恒正，不变号）得

$x+8<2(x^2+2x+3),$

两步互为等价变形，解集相同。

其余选项：A 把分母直接舍去但仍用"$<2$"，不等价；C 在两边同除以 $x+8$ 时未讨论其符号；D 同样隐含 $x+8>0$ 的前提。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式的同解变形；二次三项式（分母）的符号判定。

2. 核心方法：“分母恒正 ⟹ 直接去分母”，是分式不等式最省事的入口。

3. 避坑指南：去分母前必须先判定分母符号；本题分母恒正才可直接乘，若分母可正可负，必须移项通分后用”商式符号 ⟺ 积式符号”处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：不等式是新课标必修的核心内容，分式不等式常与”同解变形""恒成立”结合命题。

2. 结论推广: 若分母改为 $x^2+2x-3$（可正可负），则须移项通分为 $\frac{x+8-2(x^2+2x+3)}{x^2+2x+3}<0$，再按”商的符号由分子分母同号决定”求解。

3. 方法推广: “先定分母符号，再决定能不能乘”——这是分式不等式变形是否等价的分水岭。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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