2015-山东卷理-14 填-指数函数

本题导读

考查指数型函数在给定定义域下的值域性质，通过端点对应关系建立方程求出参数。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 已知函数 $f(x)=a^x+b$ ($a>0$, $a\ne 1$) 的定义域和值域都是 $[-1,0]$，则 $a+b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据底数 $a$ 的取值情况（$a>1$ 或 $0<a<1$），分析函数 $f(x)$ 的单调性。
2. 利用定义域的边界值代入值域的边界值，列出方程组求解 $a$ 和 $b$。

✅【答案】

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$-\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=a^x+b$ 的定义域为 $[-1,0]$。 若 $a>1$，则 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 上单调递增， 此时当 $x=-1$ 时，$f(-1)=a^{-1}+b=-1$； 当 $x=0$ 时，$f(0)=a^0+b=1+b=0⟹b=-1$。 代入得 $a^{-1}-1=-1⟹a^{-1}=0$（无解，舍去）。 若 $0<a<1$，则 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 上单调递减， 此时当 $x=-1$ 时，$f(-1)=a^{-1}+b=0$； 当 $x=0$ 时，$f(0)=a^0+b=1+b=-1⟹b=-2$。 代入得 $a^{-1}-2=0⟹a^{-1}=2⟹a=\frac{1}{2}$。 检验：当 $a=\frac{1}{2},b=-2$ 时，$f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x-2$， 在 $[-1,0]$ 上，当 $x=-1$ 时 $f(-1)=2-2=0$；当 $x=0$ 时 $f(0)=1-2=-1$，值域为 $[-1,0]$，符合题意。 因此 $a=\frac{1}{2}$，$b=-2$，则 $a+b=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$。 故答案为：$-\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数单调性与值域。
2. 核心方法：边界对应法。
3. 避坑指南：必须对底数 $a$ 大于 $1$ 还是小于 $1$ 进行分类讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 指数函数性质的基础综合题。
2. 结论推广: 单调函数在闭区间上的值域由其端点值决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练(Links)

• 2009-山东卷理-14
• 2014-山东卷理-16 解-向量坐标运算
• 2014-山东卷理-20 解-导数单调性