2015-新课标I卷文-03 单-复数

本题导读

考查复数方程。$(z-1)\mathrm{i}=1+\mathrm{i}$，两边同除 $\mathrm{i}$（即乘 $-\mathrm{i}$）即可解出 $z$。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 已知复数 $z$ 满足 $(z-1)\mathrm{i}=1+\mathrm{i}$，则 $z=$ ()

A. $-2-\mathrm{i}$　　　　　　B. $-2+\mathrm{i}$　　　　　　C. $2-\mathrm{i}$　　　　　　D. $2+\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. $z-1=\frac{1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}$。
2. $\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$，代入化简后加 $1$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $(z-1)\mathrm{i}=1+\mathrm{i}$ 得

$z-1=\frac{1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=(1+\mathrm{i})(-\mathrm{i})=-\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2=1-\mathrm{i},$

所以 $z=2-\mathrm{i}$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则运算；$\mathrm{i}$ 的幂的周期性。

2. 核心方法：“移项 → 分母实数化”：除以 $\mathrm{i}$ 等价于乘 $-\mathrm{i}$。

3. 避坑指南：$(1+\mathrm{i})(-\mathrm{i})=1-\mathrm{i}$（$-{\mathrm{i}}^2=+1$），虚数单位平方别丢符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：复数小题全国卷每年必考，四则运算与模、共轭轮换出现，计算量控制在两步以内。

2. 结论推广: 若方程改为 $(z-1)\mathrm{i}=1-\mathrm{i}$，则 $z=1+2\mathrm{i}$；方法不变，只换数字。

3. 方法推广: 复数方程 $w\cdot \alpha =\beta$ 的通解套路：$w=\frac{\beta }{\alpha }$ 后分子分母同乘 $\bar{\alpha }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-2
• 2014-新课标I卷理-02 单-复数的乘除与幂运算