2015-新课标I卷文-09 单-程序框图

本题导读

循环框图模拟题。每轮 $S$ 减半：$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots$，数清循环轮次即可，$t=0.01$ 是干扰精度的关键。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 执行如图的程序框图，如果输入的 $t=0.01$，则输出的 $n=$ ()

A. $5$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $7$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每轮：$S\leftarrow S-m$，$m\leftarrow \frac{m}{2}$，$n\leftarrow n+1$；$S>t$ 时继续。
2. $S$ 的值为 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots$（初始 1 也算）。
3. 找第一个 $⩽0.01$ 的 $S$，输出对应的 $n$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

逐步模拟（$S$ 初值 $1$，$m$ 初值 $\frac{1}{2}$，$n$ 初值 $0$）：

轮	$S$（更新后）	$n$（更新后）	$S>t$？
1	$\frac{1}{2}$	1	是
2	$\frac{1}{4}$	2	是
3	$\frac{1}{8}$	3	是
4	$\frac{1}{16}$	4	是
5	$\frac{1}{32}$	5	是
6	$\frac{1}{64}\approx 0.0156$	6	是
7	$\frac{1}{128}\approx 0.0078$	7	否

第 7 轮后 $S=\frac{1}{128}<0.01$，退出循环，输出 $n=7$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：程序框图的循环结构；数列 $\frac{1}{2^n}$ 与 $0.01$ 的大小比较。

2. 核心方法：“逐步模拟列表”是循环框图的万能解法；本质是比较 $2^n>100$。

3. 避坑指南：① 判断框在 $n$ 更新之后，输出的是”更新后的 $n$“，别少算一轮；② $2^6=64<100$ 而 $2^7=128>100$，边界别记错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：程序框图题全国卷每年 1 道，2015 年文理两卷分别以”累减”与”更相减损术”为背景，数学内核都是数列与不等式的交界。

2. 结论推广: 若输入 $t=0.001$，需 $2^n>1000$，即 $n=10$；一般地答案是最小的 $n$ 使 $2^n>\frac{1}{t}$。

3. 方法推广: 循环框图题防错三件套：列轮次表、盯判断框位置（前测/后测）、数清输出变量在哪一步更新。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-9
• 2014-新课标I卷理-07 单-程序框图