2015-新课标I卷文-10 单-分段函数

本题导读

两问接力：先由 $f(a)=-3$ 反解出 $a=7$（$a$ 必在 $x>1$ 段），再回到 $x⩽1$ 段算 $f(6-a)=f(-1)$。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{x-1}-2,& x⩽1,\\ -{\log }_2(x+1),& x>1,\end{array}$ 且 $f(a)=-3$，则 $f(6-a)=$ ()

A. $-\frac{7}{4}$　　　　　　B. $-\frac{5}{4}$　　　　　　C. $-\frac{3}{4}$　　　　　　D. $-\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 若 $a⩽1$：$2^{a-1}-2=-3$ 无解（左边 $>-2$）。故 $a>1$。
2. $-{\log }_2(a+1)=-3\Rightarrow a=7$。
3. $f(6-a)=f(-1)=2^{-2}-2=-\frac{7}{4}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

若 $a⩽1$，则 $f(a)=2^{a-1}-2>-2>-3$，不可能等于 $-3$，故 $a>1$.

于是 $-{\log }_2(a+1)=-3$，即 ${\log }_2(a+1)=3$，解得 $a+1=8$，$a=7$.

故 $f(6-a)=f(-1)=2^{-1-1}-2=\frac{1}{4}-2=-\frac{7}{4}$，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数求值；指数方程与对数方程；指数函数的值域。

2. 核心方法：“反求自变量先分段讨论”，用各段的值域排除不可能的段。

3. 避坑指南：① 若不讨论直接代入第二段，可能漏掉对第一段无解的论证；② $2^{-2}=\frac{1}{4}$，负指数是倒数不是变号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“分段函数 + 指对运算”是函数板块的常规组合，2015 年全国Ⅰ理第 5 题以 $\min$ 型分段函数考了同一内核。

2. 结论推广: 若 $f(a)=3$，则在第一段解 $2^{a-1}=5$ 得 $a=1+{\log }_{2}5>1$ 与前提矛盾，第二段 $-{\log }_2(a+1)=3$ 无解——可用来讨论 $f$ 的值域恰为 $(-\infty ,-2)\cup [-\frac{3}{2},+\infty )$ 型结构。

3. 方法推广: 分段函数方程：逐段解 + 用该段值域检验解的归属，缺一不可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-8