2015-新课标I卷理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算及模的计算。通过解复数方程求出 $z$，或利用复数模的运算性质快速求解，是高考数学开篇的基础送分题。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 设复数 $z$ 满足 $\frac{1+z}{1-z}=i$，则 $|z|=$ ()

A. 1　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解方程法（常规）：通过去分母、移项、提取公因式，解出复数 $z$ 的代数形式 $a+bi$，再计算 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。
2. 性质法（快速）：利用复数模的性质 $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$。对原式两边同时取模，建立关于 $|z|$ 的方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：代数化简法

1. 去分母： $1+z=i(1-z)⟹1+z=i-zi$
2. 移项并提取公因式 $z$： $z+zi=i-1⟹z(1+i)=i-1$
3. 求出 $z$： $z=\frac{i-1}{i+1}=\frac{(i-1)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{i-i^2-1+i}{1+1}=\frac{2i}{2}=i$
4. 计算模： $|z|=|i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$。

解法二：性质法

由 $\frac{1+z}{1-z}=i$ 两边取模得： $\left|\frac{1+z}{1-z}\right|=|i|$ 利用模的性质 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$： $\frac{|1+z|}{|1-z|}=1⟹|1+z|=|1-z|$ 设 $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$)，代入得： $\sqrt{(1+x{)}^2+y^2}=\sqrt{(1-x{)}^2+y^2}⟹(1+x{)}^2=(1-x{)}^2⟹x=0$ 将 $z=yi$ 代入原方程 $\frac{1+yi}{1-yi}=i⟹1+yi=i+y⟹y=1$ 故 $z=i$，从而 $|z|=1$。

最终答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 运算基本功：复数方程的求解要注意 $i^2=-1$ 的符号变换，以及分母实数化的技巧。
2. 性质应用：在客观题中，利用 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ 和 $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ 可以避开繁琐的复数除法，大幅提高速度。
3. 避坑指南：注意题目要求的是 $|z|$ 而不是 $z$ 本身。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于方程 $\frac{a+z}{a-z}=bi$ ($a,b\in \mathbb{R},a\ne 0,b\ne 0$)，其解 $z$ 对应的点在复平面上总是落在一条过原点的直线上，且若 $b=1$，则 $|z|=|a|$。
• 方法推广:
  • 几何意义法：$|z-z_1|=|z-z_2|$ 在复平面上表示线段 $z_1{z}_2$ 的垂直平分线。本题即为点 $1$ 与 $-1$ 的中垂线（虚轴）。
• 相关知识点:
  • 共轭复数性质：$|z|=|\bar{z}|$ 且 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$。
  • 复数相等的条件：实部等于实部，虚部等于虚部。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2025-天津卷-10 填-复数
• 2013年辽宁卷理-1
• 2019-天津卷文-09 填-复数模