2015-新课标I卷理-13 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数奇偶性的定义及其应用。通过偶函数的定义建立关于参数 $a$ 的等式，结合对数的求和运算转化为乘法运算，从而快速解得参数值，是考查函数基本性质的典型填空题。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 若函数 $f(x)=x\ln (x+\sqrt{a+x^2})$ 为偶函数，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用偶函数定义：根据偶函数满足 $f(-x)=f(x)$ 对定义域内任意 $x$ 恒成立。
2. 列出等式：将 $-x$ 代入函数式，建立关于 $x$ 和 $a$ 的恒等式。
3. 恒等变形：利用对数的加法性质 $\ln A+\ln B=\ln (AB)$ 以及平方差公式进行化简。
4. 求解参数：根据对数恒等于 0 的条件，解出 $a$ 的取值。

✅【答案】

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1

✍【详细解析】

Abstract

解法一：定义法

1. 根据定义列式： 因为 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(-x)=f(x)$。 即：$(-x)\ln (-x+\sqrt{a+(-x{)}^2})=x\ln (x+\sqrt{a+x^2})$
2. 化简等式： 对于 $x\ne 0$，等式两边同时除以 $x$，得： $-\ln (\sqrt{a+x^2}-x)=\ln (\sqrt{a+x^2}+x)$ 移项得：$\ln (\sqrt{a+x^2}+x)+\ln (\sqrt{a+x^2}-x)=0$
3. 利用对数性质与平方差公式： $\ln [(\sqrt{a+x^2}+x)(\sqrt{a+x^2}-x)]=0$ $\ln [(\sqrt{a+x^2}{)}^2-x^2]=0$ $\ln (a+x^2-x^2)=0⟹\ln a=0$
4. 得出结论： 由 $\ln a=0$ 解得 $a=1$。

解法二：特殊值法

由于 $f(x)$ 为偶函数是对定义域内所有 $x$ 恒成立的，可以取特殊值计算。 取 $x=1$，则应有 $f(-1)=f(1)$： $(-1)\ln (-1+\sqrt{a+1})=1\ln (1+\sqrt{a+1})$ $\ln (\sqrt{a+1}+1)+\ln (\sqrt{a+1}-1)=0$ $\ln (a+1-1)=0⟹\ln a=0⟹a=1$。 经检验，$a=1$ 时函数定义域为 $\mathbb{R}$，且满足偶函数性质。

最终答案为：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 奇偶性的本质：偶函数的定义是 $f(-x)=f(x)$，奇函数的定义是 $f(-x)=-f(x)$。本题中 $f(x)=g(x)\cdot h(x)$，其中 $g(x)=x$ 是奇函数，要使 $f(x)$ 为偶函数，则 $h(x)=\ln (x+\sqrt{a+x^2})$ 必须为奇函数。
2. 常见奇函数模型：形如 $y=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 的函数是高中数学中非常经典的奇函数模型。
3. 运算技巧：对数式中出现根号加减项时，通常考虑利用共轭项相乘（平方差公式）进行化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于函数 $f(x)=\ln (x+\sqrt{a+x^2})$，若 $a=1$，则 $f(-x)=\ln (-x+\sqrt{1+x^2})=\ln \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=-f(x)$，该函数为奇函数。
• 方法推广:
  • 乘积判定法：两个奇函数的乘积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。本题中 $x$ 是奇函数，故对数部分必须是奇函数。
• 相关知识点:

  • - **反三角函数背景**：$y = \ln(x + \sqrt{1 + x^2})$ 实际上是反双曲正弦函数 $\text{arsinh}(x)$。
    

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2020-全国卷II理-09 单-对数函数
• 2018-全国卷III文-16 填-函数奇偶性
• 2014-四川卷理-09 单-奇偶性定义与判定