2015-新课标II卷文-11 单-函数图象

本题导读

动点问题的函数图象识别。不要硬求解析式，用 $x=0,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4},\pi$ 五个特殊位置的函数值就能锁定图象。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 如图，长方形 $ABCD$ 的边 $AB=2$，$BC=1$，$O$ 是 $AB$ 的中点，点 $P$ 沿着边 $BC$，$CD$ 与 $DA$ 运动，记 $\angle BOP=x$.将动点 $P$ 到 $A,B$ 两点距离之和表示为 $x$ 的函数 $f(x)$，则 $y=f(x)$ 的图象大致为

🔍【思路分析】

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1. 定 $x$ 的范围：$P$ 从 $B$ 经 $C$、$D$ 到 $A$，$\angle BOP$ 由 $0$ 增到 $\pi$，故 $x\in [0,\pi ]$。
2. 算五个关键点的 $f$ 值：$x=0$ 与 $x=\pi$ 时 $f=2$；$x=\frac{\pi }{4}$ 与 $x=\frac{3\pi }{4}$ 时 $f=1+\sqrt{5}$；$x=\frac{\pi }{2}$ 时 $f=2\sqrt{2}$。
3. 用”两端最小、$\frac{\pi }{4}$ 与 $\frac{3\pi }{4}$ 处最大、关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称”的走势去比对四个图象。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

先由 $P$ 的运动路线确定定义域：$P$ 由 $B$ 出发经 $C$、$D$ 到 $A$，$\angle BOP$ 从 $0$ 单调增至 $\pi$，故 $x\in [0,\pi ]$，且图形关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称。

再取五个特殊位置计算 $f(x)=|PA|+|PB|$（$AB=2$，$BC=1$，$O$ 为 $AB$ 中点）：

| $x$ | $P$ 的位置 | $|PA|$ | $|PB|$ | $f(x)$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | $0$ | $B$ | $2$ | $0$ | $2$ | | $\frac{\pi }{4}$ | $C$ | $\sqrt{5}$ | $1$ | $1+\sqrt{5}\approx 3.24$ | | $\frac{\pi }{2}$ | $CD$ 中点 | $\sqrt{2}$ | $\sqrt{2}$ | $2\sqrt{2}\approx 2.83$ | | $\frac{3\pi }{4}$ | $D$ | $1$ | $\sqrt{5}$ | $1+\sqrt{5}\approx 3.24$ | | $\pi$ | $A$ | $0$ | $2$ | $2$ |

于是图象应满足：两端取最小值 $2$；在 $x=\frac{\pi }{4}$ 与 $x=\frac{3\pi }{4}$ 处达到最大值 $1+\sqrt{5}$；在 $x=\frac{\pi }{2}$ 处回落到 $2\sqrt{2}$（仍高于两端的 $2$）；整体关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称。

四个图象中只有 B 符合这一走势（其最大值位置在 $\frac{\pi }{4}$ 与 $\frac{3\pi }{4}$ 处、中点处略回落且高于端点，且关于中点对称）。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：动点问题的函数建模；函数图象的识别与排除。

2. 核心方法：图象识别题优先”算特殊值、比走势”，而不是求解析式——本题若硬算分段解析式会非常繁琐。

3. 避坑指南：① 定义域要由动点的实际运动范围确定（$x\in [0,\pi ]$），不能想当然；② $x=\frac{\pi }{4}$、$\frac{3\pi }{4}$ 处对应”最大值”，$x=\frac{\pi }{2}$ 处是”局部最低但高于端点”，三者关系别搞混。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：以”动点距离之和”为背景的函数图象题在 2013~2015 年新课标卷中连续出现（如 2013 年新课标Ⅱ理第 10 题），是”几何动点 + 图象识别”的经典组合。

2. 结论推广: 若把”到 $A,B$ 距离之和”改为”到 $O$ 的距离”，则 $f(x)=|OP|$ 直接由 $O$ 到三边的距离确定，图象会简单得多——目标的选取决定解题难度，这是动点题的常见变式方向。

3. 方法推广: 图象识别题通用流程：① 定定义域；② 判奇偶性/对称性；③ 算端点值与极值点处的特殊值；④ 逐项排除。四步中只要两三条能区分开选项就够，不必求全。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-10 单-函数图象
• 2012年新课标Ⅱ理-10