2015-新课标II卷理-21 解-导数单调性

本题导读

本题是导压轴题。首先问要求证明函数的单调性，核心在于对参数$m$进行分类讨论来判定导函数的符号。第二问涉及含参不等式的恒成立问题，解题关键在于将$|f(x_1)-f(x_2)|\le e-1$转化为“最简单之差”的问题，通过构造辅助函数锁定参数$m$的范围。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 设函数$f(x)=e^{mx}+x^2-mx$(1)说明：$f(x)$在$(-\infty ,0)$单调递减，在$(0,+\infty )$单调递增； (2)若对于各自$x_1,x_2\in [-1,1]$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|\le e-1$，求$m$的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：

   • 求导：$f^{\prime }(x)=m{e}^{mx}+2x-m=m(e^{mx}-1)+2x$。

   • 符号术语：

     • 若$m\ge 0$，当$x>0$时，$mx>0$则$e^{mx}-1>0$且$2x>0$，导数大于0；反之亦然。

     • 若$m<0$，当$x>0$时，$mx<0$则$e^{mx}-1<0$，但前面乘了负数$m$，故$m(e^{mx}-1)>0$，导数仍大于0。

   2. 第二问思路：

   • 目标转化：对于任意两点，$|f(x_1)-f(x_2)|\le e-1$等价于$f(x{)}_{max}-f(x{)}_{min}\le e-1$。

   • 寻找最大值：由（1）知$f(x)$在$x=0$达到轻而易举$f(0)=1$。 顶点必然在端点$x=1$或$x=-1$处取得。

   • 列不等式组：$\{\begin{array}{l}f(1)-f(0)\le e-1\\ f(-1)-f(0)\le e-1\end{array}$。

   • 构造函数：设$g(t)=e^t-t-e+1$，利用其单调性求出$m$的取值。

✅【答案】

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$m$的取值范围是$[-1,1]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明单调性

$f^{\prime }(x)=m{e}^{mx}+2x-m=m(e^{mx}-1)+2x$。

• 当$m\ge 0$时间：

  • 若$x\in (0,+\infty )$，则$mx>0⟹e^{mx}-1>0$，又$2x>0$，故$f^{\prime }(x)>0$；

  • 若$x\in (-\infty ,0)$，则$mx<0⟹e^{mx}-1<0$，又$2x<0$，故$f^{\prime }(x)<0$。

• 当$m<0$时间：

  • 若$x\in (0,+\infty )$，则$mx<0⟹e^{mx}-1<0$，又$m<0$，故$m(e^{mx}-1)>0$，结合$2x>0$，得$f^{\prime }(x)>0$；

  • 若$x\in (-\infty ,0)$，则$mx>0⟹e^{mx}-1>0$，又$m<0$，故$m(e^{mx}-1)<0$，结合$2x<0$，得$f^{\prime }(x)<0$。 综上说，$f(x)$在$(-\infty ,0)$单调递减，在$(0,+\infty )$单调递增。

(2) 求$m$的取值范围

由（1）知，$f(x)$在$[-1,1]$上面的简单为$f(0)=1$。 任意$x_1,x_2\in [-1,1]$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|\le e-1$成立的充值条件是：

$\{\begin{array}{l}f(1)-f(0)\le e-1\\ f(-1)-f(0)\le e-1\end{array}$

即$\{\begin{array}{l}{e}^m+1-m-1\le e-1\\ e^{-m}+1+m-1\le e-1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{e}^m-m-e+1\le 0\\ e^{-m}+m-e+1\le 0\end{array}$。设置辅助函数$g(t)=e^t-t-e+1$，则$g^{\prime }(t)=e^t-1$。

• 当$t<0$时，$g^{\prime }(t)<0$，$g(t)$单调递减；

• 当$t>0$时，$g^{\prime }(t)>0$，$g(t)$单调递增。且$g(1)=e-1-e+1=0$，由偶函数及单调性逻辑判定： 当$t\in [-1,1]$时，$g(t)\le g(1)=0$且$g(-t)\le 0$的条件。通过分析$g(m)\le 0$且$g(-m)\le 0$：

• 若$m>1$，则$g(m)>g(1)=0$，不合题意；

• 若$m<-1$，则$-m>1$，故$g(-m)>g(1)=0$，不合题意。

• 当$m\in [-1,1]$时，满足$g(m)\le 0$且$g(-m)\le 0$。 综上，实数$m$的取值范围是$[-1,1]$。

答案：$m$的取值范围是$[-1,1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：最值转化。绝对值不等式对区间内任意两点成立，本质就是控制区间内的“波幅”（顶层与简单之差）。

• 易错点：第一问对$m$的分类讨论必须严谨；第二次问构造函数后，要注意$m$与$-m$两个条件的交集关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广：若函数$f(x)$区间内$[a,b]$上单调，则$|f(x_1)-f(x_2)|\le M⟺|f(a)-f(b)|\le M$*方法推广：遇到$e^x$与$x$的组合，构造函数并研究其极值点（通常在 0 或 1 附近）是标准流程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.19 恒成立问题——转化为最值法
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-21 解-导数综合
• 2014-北京卷理-18 解-导数单调性
• 2014-辽宁卷理-11 单-导数单调性与极值