2015-江苏卷-07 填-指数不等式

本题导读

本题考查指数不等式的基本解法。通过统一底数，利用指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式求解。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 不等式 $2^{x^2-x}<4$ 的解集为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 统一底数：将不等式右侧的 $4$ 写成以 $2$ 为底的幂，即 $4=2^2$。
2. 利用单调性：由于底数 $2>1$，指数函数 $y=2^t$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，故 $2^{f(x)}<2^{g(x)}$ 等价于 $f(x)<g(x)$。
3. 解二次不等式：将得到的一元二次不等式移项化为标准型，利用因式分解法或求根公式求出解集。

✅【答案】

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$(-1,2)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：等价转化 原不等式为 $2^{x^2-x}<4$。 由于 $4=2^2$，原式可化为： $2^{x^2-x}<2^2$

第二步：脱去底数 因为底数 $2>1$，指数函数 $y=2^x$ 单调递增， 所以指数部分满足： $x^2-x<2$

第三步：求解二次不等式 将不等式移项整理得： $x^2-x-2<0$ 因式分解得： $(x-2)(x+1)<0$ 根据“大于取两边，小于取中间”的原则，解得： $-1<x<2$

第四步：写出解集 用区间形式表示为 $(-1,2)$。

答案：$(-1,2)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：指数不等式的同底数转化；指数函数的单调性应用；一元二次不等式的解法。
• 核心方法：等价转化法。将复杂的复合不等式逐层脱壳，转化为最基础的代数不等式。
• 避坑指南：务必注意指数函数的底数范围。若底数 $a\in (0,1)$，脱去底数时需要改变不等号的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于不等式 $a^{f(x)}<a^{g(x)}$，若 $a>1$，则 $f(x)<g(x)$；若 $0<a<1$，则 $f(x)>g(g)$。 *方法推广: 遇到底数不同但有幂次关系的指数式，应优先考虑化为同底。

• 相关知识点：对数不等式、二次函数的图象与性质。

🔗【关联脉络】

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$(-1,2)$

类题演练(Links)

• 2015-江苏卷-20 解-数列通项
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