2015-浙江卷理-07 单-函数概念

本题导读

本题考查函数定义的核心性质——单一性（即自变量取一个值时，函数值有且只有一个）。通过特殊值代入法排除不满足定义的选项，是解决此类问题的关键。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）存在函数 $f(x)$ 满足，对任意 $x\in \mathbb{R}$ 都有 ()

A. $f(\sin 2x)=\sin x$　　　　　　　　　　　　B. $f(\sin 2x)=x^2+x$

C. $f(x^2+1)=|x+1|$　　　　　　　　D. $f(x^2+2x)=|x+1|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解函数定义：根据函数的定义，若一个自变量的值 $u$ 对应了多个不同的 $f(u)$ 值，则 $f$ 不能构成函数。
2. 特殊值检验（排除法）：
   • 对于 $f(g(x))=h(x)$ 形式的等式，寻找两个不同的 $x_1,x_2$，使得 $g(x_1)=g(x_2)$ 但 $h(x_1)\ne h(x_2)$。
   • 若能找到这样的对子，说明一个自变量对应了两个函数值，排除该选项。
3. 换元法验证（判定法）：
   • 尝试通过换元将 $f(g(x))$ 转化为 $f(u)$ 的形式。如果 $h(x)$ 能够唯一地由 $g(x)$ 的值确定，则存在该函数。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

选项 A 验证： 当 $\sin 2x=0$ 时，对应的 $x$ 可以是 $0$ 或 $\frac{\pi }{2}$。

• 取 $x=0$，则 $\sin 2x=0$，此时应有 $f(0)=\sin 0=0$；
• 取 $x=\frac{\pi }{2}$，则 $\sin 2x=\sin \pi =0$，此时应有 $f(0)=\sin \frac{\pi }{2}=1$。 出现 $f(0)$ 同时等于 $0$ 和 $1$ 的情况，不符合函数定义，排除 A。

选项 B 验证： 当 $\sin 2x=0$ 时，取 $x=0$ 和 $x=\pi$。

• 取 $x=0$，则 $f(0)=0^2+0=0$；
• 取 $x=\pi$，则 $f(0)={\pi }^2+\pi \ne 0$。 出现 $f(0)$ 对应两个不同值，排除 B。

选项 C 验证： 当 $x^2+1=2$ 时，对应 $x=1$ 或 $x=-1$。

• 取 $x=1$，则 $f(2)=|1+1|=2$；
• 取 $x=-1$，则 $f(2)=|-1+1|=0$。 出现 $f(2)$ 对应两个不同值，排除 C。

选项 D 验证： 注意到 $x^2+2x=(x+1{)}^2-1$。 令 $x+1=t$，则等式变为 $f(t^2-1)=|t|$。 设 $u=t^2-1$，由于 $t^2=u+1\ge 0$，则 $u\ge -1$。 此时 $|t|=\sqrt{t^2}=\sqrt{u+1}$。 即存在函数 $f(u)=\sqrt{u+1}$ ($u\ge -1$) 满足条件。 对于任意 $x\in \mathbb{R}$，$|x+1|$ 的值由 $x^2+2x$ 唯一确定（因为 $|x+1|=\sqrt{(x+1{)}^2}=\sqrt{(x^2+2x)+1}$）。 故 D 正确。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数的定义（单一性原则）。
• 核心方法：特殊值法是处理这类“是否存在”问题的最快手段。寻找对称点（如二次函数的对称性、三角函数的周期性）是构造冲突值的常用技巧。
• 避坑指南：不仅要关注 $f(\cdot )$ 内部的取值范围，更要关注内部取相同值时，等号右侧的值是否唯一。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若已知 $f(g(x))=h(x)$，存在 $f(x)$ 的充要条件是：对于任意 $x_1,x_2$，若 $g(x_1)=g(x_2)$，则必有 $h(x_1)=h(x_2)$。 *方法推广: 换元法是求函数解析式的基本方法。设 $g(x)=t$，反解出 $x$ 代入 $h(x)$。

• 相关知识点：映射的概念、二次函数的性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练(Links)

• 2014-浙江卷理-07 单-幂函数图象
• 2014-浙江卷理-06 单-三次函数的解析式
• 2014-浙江卷理-10 单-函数单调性