2015-陕西卷文-12 单-几何概型

本题导读

$|z|\le 1$ 即 $(x-1{)}^2+y^2\le 1$；$y\ge x$ 对应圆心角为 $\frac{\pi }{2}$ 的弓形，面积 $\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}$，概率 $\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi }$，选 C。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） 设复数 $z=(x-1)+yi$（$x$，$y\in \mathbf{R}$），若 $|z|\le 1$，则 $y\ge x$ 的概率为 ()

A. $\frac{3}{4}+\frac{1}{2\pi }$　　　　　B. $\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }$　　　　　C. $\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi }$　　　　　D. $\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }$

🔍【思路分析】

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$|z|\le 1$ 即 $(x-1{)}^2+y^2\le 1$；$y\ge x$ 对应圆心角为 $\frac{\pi }{2}$ 的弓形，面积 $\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}$，概率 $\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi }$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$|z|\le 1$ 即 $(x-1{)}^2+y^2\le 1$，是圆心 $C(1,0)$、半径 1 的圆域（含边界），面积 $\pi$。

事件"$y\ge x$"对应圆域内位于直线 $y=x$ 上方（含直线）的部分。圆心 $C(1,0)$ 到直线 $y=x$ 的距离为 $\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$；直线与圆的两个交点为 $(0,0)$ 与 $(1,1)$。

在交点 $(1,1)$ 处，半径 $C$ 到该点的方向向量为 $(0,1)$；在原点处方向向量为 $(-1,0)$，两半径夹角为 $\frac{\pi }{2}$。直线 $y=x$ 下方一侧对应优弧、上方一侧对应劣弧（圆心角 $\frac{\pi }{2}$）。

$y\ge x$ 部分是圆心角 $\frac{\pi }{2}$ 的弓形，其面积为

$\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}$。

故所求概率 $P=\frac{\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}}{\pi }=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi }$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模的几何意义；几何概型；扇形与弓形面积

核心方法：“模条件化圆域 → 圆弓形面积 → 面积比”

避坑指南：①$z=(x-1)+yi$ 的模是 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$，圆心在 $(1,0)$ 不是原点；②$y\ge x$ 截出的是小弓形（圆心角 $\frac{\pi }{2}$），弓形面积 = 扇形 − 三角形，两块都不能漏、不能取成大弓形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数与几何概型嫁接的精品选择题（doc 考点定位：复数的模长、几何概型），用复数语言包装圆域面积比。

结论推广：一般地，过圆心的弦截出的弓形：圆心角 $\theta$ 时弓形面积 $=\frac{r^2}{2}(\theta -\sin \theta )$；本题 $r=1$、$\theta =\frac{\pi }{2}$ 得 $\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}$。

方法推广：几何概型四步：把条件翻译成区域（模/方程/不等式）→ 求总面积与有利面积 → 面积比 → 化简为选项形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练(Links)

• 2015-陕西卷理-11 单-复数模
• 2014-陕西卷理-08 单-四种命题
• 2013年陕西卷理-6