2015-陕西卷文-22 解-圆幂定理

本题导读

$\angle DBA=\angle DEB=90^{\circ }-\angle BDE=\angle CBD$；设 $DC=x$，$R^2=(R-x{)}^2+2$ 与 $A{B}^2=AD\cdot AE$ 联立解得 $x=1$，直径 $2R=3$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） （选修 4—1：几何证明选讲）

如图，$AB$ 切 $\odot O$ 于点 $B$，直线 $AO$ 交 $\odot O$ 于 $D$，$E$ 两点，$BC\perp DE$，垂足为 $C$.

(1) 证明：$\angle CBD=\angle DBA$；

(2) 若 $AD=3DC$，$BC=\sqrt{2}$，求 $\odot O$ 的直径.

🔍【思路分析】

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$\angle DBA=\angle DEB=90^{\circ }-\angle BDE=\angle CBD$；设 $DC=x$，$R^2=(R-x{)}^2+2$ 与 $A{B}^2=AD\cdot AE$ 联立解得 $x=1$，直径 $2R=3$。

✅【答案】

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(2) 直径 $2R=3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $AO$ 经过圆心，$DE$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle DBE=90^{\circ }$。

由弦切角定理，$\angle DBA=\angle DEB$。在直角三角形 $BDE$ 中，$\angle DEB=90^{\circ }-\angle BDE$。

又 $D$，$C$，$E$ 共线且 $BC\perp DE$，所以 $\angle BCD=90^{\circ }$，且 $\angle BDE=\angle BDC$。于是在直角三角形 $BCD$ 中，$\angle CBD=90^{\circ }-\angle BDC=90^{\circ }-\angle BDE=\angle DBA$。

(2) 设 $DC=x$（$x>0$），圆的半径为 $R$。由点的顺序，$OC=R-x$。在直角三角形 $OCB$ 中，$BC=\sqrt{2}$，故

$R^2=(R-x{)}^2+2$，即 $2Rx=x^2+2$。　①

又 $A$，$D$，$C$ 共线，$AD=3DC=3x$，所以 $AC=4x$。在直角三角形 $ABC$ 中，$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=16x^2+2$。

由切割线定理，$A{B}^2=AD\cdot AE=3x(3x+2R)=9x^2+6Rx$，从而

$7x^2+2=6Rx$。　②

由①②：$7x^2+2=3(x^2+2)$，解得 $x=1$。代回①得 $2R=x+\frac{2}{x}=3$。

故 $\odot O$ 的直径为 $2R=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弦切角定理；圆周角定理（直径对直角）；切割线定理；解直角三角形

核心方法：“角：直径直角 + 弦切角双通道”；“线：两个直角三角形 + 切割线定理联立”

避坑指南：①$\angle DBA=\angle DEB$ 用的是弦切角定理（切线与弦的夹角 = 夹弧所对圆周角），别与圆周角定理混淆；②$OC=R-x$ 依赖点序 $D$–$C$–$O$，$C$ 在圆内近 $D$ 处，位置关系要先从图确认；③两条方程 $2Rx=x^2+2$ 与 $7x^2+2=6Rx$ 消 $R$ 的方式：①代入②。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：选修 4-1 的标准综合题（doc 考点定位：几何证明、切割线定理），“切线 + 直径 + 垂线”三线交汇，第（1）问的等角是第（2）问计算的铺垫。

结论推广：一般地，切线—割线构型中 $A{B}^2=AD\cdot AE$ 与”垂足分直径”的直角三角形 $OCB$ 是固定搭档，两式一联立即可解 $R$。

方法推广：平面几何计算题：设未知线段长 → 每个直角三角形列一条勾股关系 → 圆幂定理补一条方程 → 解方程组；角的关系常用于说明垂直或等腰。

🔗【关联脉络】

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