2016-上海卷文-14 填-数列

本题导读

本题考查数列的前 $n$ 项和与通项公式、数列项的取值范围与元素个数分析，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 无穷数列 $\{a_n\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.若对任意的 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$S_n\in \{2,3\}$，则 $k$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 已知前 $n$ 项和 $S_n$ 的所有可能取值构成集合 $\{2,3\}$，即对任意 $n$， $S_n$ 只能取 2 或 3。
2. 分析 $a_n=S_n-S_{n-1}$（当 $n\ge 2$ 时，$a_1=S_1$），推导 $a_n$ 可能取到的数值。
3. 构造满足条件的数列，分析 $k$（不同数的个数）的最大可能值。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

已知对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$S_n\in \{2,3\}$。

• 当 $n=1$ 时，$S_1=a_1\in \{2,3\}$。
• 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}$。 由于 $S_n$ 和 $S_{n-1}$ 均只能在集合 $\{2,3\}$ 中取值，故 $a_n$ 可能的取值来自： $3-2=1$，$2-3=-1$，$2-2=0$，$3-3=0$。 因此，数列 $\{a_n\}$ 中的项 $a_n$ 的取值只能属于集合 $\{-1,0,1\}$。 再加上首项 $a_1=S_1$ 可以是 2 或 3：
• 若 $a_1=2$，后续项为 $-1,0,1$；
• 若 $a_1=3$，后续项为 $-1,0,1$。 实际上，若 $a_1=2$，则 $S_1=2$；若接着 $a_2=1$，则 $S_2=3$；若接着 $a_3=-1$，则 $S_3=2$，等等。 通过精心构造周期性或交替变化的数列，可以发现 $\{a_n\}$ 中不同数的个数 $k$ 最多可以取到 4 个（例如包含数值：$-1,0,1,2$ 或其他组合，经严格集合势分析，最大值为 4）。 故答案为 $4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列前 $n$ 项和、项与和的关系 $a_n=S_n-S_{n-1}$。
2. 核心方法：差分分析与可能取值穷举法。
3. 避坑指南：切勿忽视首项 $a_1=S_1$ 的取值范围可能与后续项不同，需将首项纳入整体集合中统计不同数的总个数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数列压轴填空题。
2. 结论推广：由有界前 $n$ 项和限制的数列其通项的取值范围通常由相邻和之差完全决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-10 填-数列通项
• 2017-上海卷-14 单-数列的极限
• 2017-上海卷-15 单-等差数列

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