2016-全国卷III文-17 解-数列

本题导读

本题考查数列的递推关系与通项公式、因式分解法解数列递推式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 已知各项都为正数的数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n^2-(2a_{n+1}-1)a_n-2a_{n+1}=0$.

(1) 求 $a_2,a_3$；

(2) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：将 $a_1=1$ 代入递推关系式中，解一元二次方程求出 $a_2$；再代入 $a_2$ 求出 $a_3$。
2. 第 (2) 问：将递推式关于 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ 进行因式分解，化简得到相邻两项的关系，判断其为等差或等比数列，进而求出通项公式。

✅【答案】

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(1) $a_2=\frac{1}{2}$，$a_3=\frac{1}{4}$；(2) $a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$（即 $a_n=2^{1-n}$）。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 已知 $a_1=1$，递推关系为 $a_n^2-(2a_{n+1}-1)a_n-2a_{n+1}=0$。

• 当 $n=1$ 时，代入 $a_1=1$： $1^2-(2a_2-1)(1)-2a_2=0$ $1-2a_2+1-2a_2=0⟹2-4a_2=0⟹a_2=\frac{1}{2}$。
• 当 $n=2$ 时，代入 $a_2=\frac{1}{2}$： ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2-(2a_3-1)\left(\frac{1}{2}\right)-2a_3=0$ $\frac{1}{4}-a_3+\frac{1}{2}-2a_3=0⟹\frac{3}{4}-3a_3=0⟹a_3=\frac{1}{4}$。 故 $a_2=\frac{1}{2},a_3=\frac{1}{4}$。

(2) 将递推式 $a_n^2-(2a_{n+1}-1)a_n-2a_{n+1}=0$ 关于 $a_{n+1}$ 变形因式分解： $a_n^2-2a_{n+1}{a}_n+a_n-2a_{n+1}=0$ $a_n(a_n+1)-2a_{n+1}(a_n+1)=0$ $(a_n-2a_{n+1})(a_n+1)=0$。 因为数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，所以 $a_n+1>0$ 恒成立。 因此必有 $a_n-2a_{n+1}=0$，即 $a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n$。 这说明数列 $\{a_n\}$ 是以 $a_1=1$ 为首项，$\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列。 故其通项公式为： $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$（或写成 $a_n=2^{1-n}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列递推关系、因式分解化简、等比数列通项。
2. 核心方法：十字相乘与因式分解降幂法。
3. 避坑指南：因式分解后需利用“各项都为正数”这一条件安全约去公因式 $(a_n+1)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数列解答题的经典因式分解模型。
2. 结论推广：隐式递推关系式通常可通过分组分解转化为等差或等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-10 填-数列通项
• 2017-上海卷-14 单-数列的极限
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