2016-全国卷III理-01 单-集合

本题导读

本题考查集合的交集运算、一元二次不等式的解法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 设集合 $S=\{x\mid (x-2)(x-3)\ge 0\}$，$T=\{x\mid x>0\}$，则 $S\cap T=$ ()

A. $[2,3]$　　B. $(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$　　C. $[3,+\infty )$　　D. $(0,2]\cup [3,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 求解集合 S：解一元二次不等式 $(x-2)(x-3)\ge 0$。根据二次函数图象或“大于取两边”原则确定 $x$ 的范围。
2. 分析集合 T：集合 $T$ 已知为所有大于 0 的实数。
3. 求交集：利用数轴找到集合 $S$ 与集合 $T$ 的重叠部分。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 解集合 S： 由 $(x-2)(x-3)\ge 0$ 可得 $x\le 2$ 或 $x\ge 3$。 所以 $S=(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$。
2. 集合 T： 由题意知 $T=(0,+\infty )$。
3. 求 $S\cap T$： 在数轴上表示两个集合：

• 集合 $S$ 为 $2$ 左侧（含 $2$）及 $3$ 右侧（含 $3$）的部分。
• 集合 $T$ 为 $0$ 右侧的部分。 取重叠部分，得 $0<x\le 2$ 或 $x\ge 3$。 即 $S\cap T=(0,2]\cup [3,+\infty )$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基础运算：集合与不等式是高考的第一道门槛，通常考查定义理解和基础解题能力。
• 易错点：注意不等式中“$\ge$”与“$>$”的区别，这直接决定了结果区间端点的开闭（实心点与空心点）。
• 解题技巧：涉及多个区间合并或相交时，数轴法是最直观且准确率最高的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目要求 $S\cup T$，则结果为 $(-\infty ,+\infty )$，即全集 $\mathbb{R}$。
• 知识关联：如果集合中包含分式不等式或含参不等式，解题思路依然是先求各集合范围，再进行逻辑运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-01 单-集合

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