2016-天津卷理-16 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型、离散型随机变量的分布列。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1, 2, 3 的人数分别为 3, 3, 4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.

(1)设 $A$ 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 $A$ 发生的概率；

(2)设 $X$ 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总样本空间：从 10 人中选 2 人，总基本事件数为 $C_{10}^2$。
2. 事件 A 分析：和为 4 的情况包括（1次, 3次）和（2次, 2次）。
3. 随机变量 X 分析：

• 确定 $X$ 的可能取值：$|1-1|=0,|2-2|=0,|3-3|=0,|1-2|=1,|2-3|=1,|1-3|=2$。故 $X\in \{0,1,2\}$。
• 分别计算 $P(X=0),P(X=1),P(X=2)$。
• 列出表格并利用公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算期望。

✅【答案】

点击查看答案

因此𝑃(𝐴) = 3 ⋅4 + C23C210= 1545 = 13

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）从 10 人中随机选出 2 人的选法共有 $C_{10}^2=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45$ 种。 事件 $A$ 为“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，包含的情况有： ① 1 人参加 1 次，另 1 人参加 3 次，共有 $C_3^1{C}_4^1=3\times 4=12$ 种选法； ② 2 人都参加 2 次，共有 $C_3^2=3$ 种选法。 所以事件 $A$ 包含的基本事件数为 $12+3=15$。 则事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$。

（2）随机变量 $X$ 的可能取值为 0, 1, 2。 $P(X=0)$ 表示选出的 2 人参加次数相同，即（1,1）,（2,2）或（3,3）： $P(X=0)=\frac{C_3^2+C_3^2+C_4^2}{C_{10}^2}=\frac{3+3+6}{45}=\frac{12}{45}=\frac{4}{15}$。

$P(X=1)$ 表示选出的 2 人参加次数相差 1，即（1,2）或（2,3）： $P(X=1)=\frac{C_3^1{C}_3^1+C_3^1{C}_4^1}{C_{10}^2}=\frac{3\times 3+3\times 4}{45}=\frac{9+12}{45}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$。

$P(X=2)$ 表示选出的 2 人参加次数相差 2，即（1,3）： $P(X=2)=\frac{C_3^1{C}_4^1}{C_{10}^2}=\frac{3\times 4}{45}=\frac{12}{45}=\frac{4}{15}$。

所以 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2
$P$	$\frac{4}{15}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{4}{15}$

$X$ 的数学期望 $E(X)=0\times \frac{4}{15}+1\times \frac{7}{15}+2\times \frac{4}{15}=\frac{7+8}{15}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 古典概型公式：$P=\frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}}$。
• 分布列检查：计算完分布列后，务必检查各概率之和是否等于 1（本题 $\frac{4+7+4}{15}=1$），以防漏掉情况。
• 变量含义理解：准确翻译题目中的文字信息（如“次数之差的绝对值”）为数学表达式。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目要求“次数之积为偶数”，该如何处理？

• 提示：可利用间接法，先求积为奇数的概率（两人都参加 1 次或 3 次）。

• 常用结论：对于离散型随机变量，期望反映的是其取值的平均水平。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-11 单-古典概型
• 2017-北京卷理-17 解-古典概型
• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型

专题合集 (Series)