2017-全国卷I文-09 单-对数函数

本题导读

考查对数函数的定义域、利用导数研究函数的单调性以及函数图象的对称性。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 已知函数 $f(x)=\ln x+\ln (2-x)$，则 ()

A. $f(x)$ 在 $(0,2)$ 单调递增

B. $f(x)$ 在 $(0,2)$ 单调递减

C. $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称

D. $y=f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 对称

🔍【思路分析】

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1. 求函数的定义域：需满足 $\{\begin{array}{l}x>0,\\ 2-x>0,\end{array}$ 解得 $0<x<2$，故定义域为 $(0,2)$。
2. 将函数化简为 $f(x)=\ln [x(2-x)]=\ln (2x-x^2)$。
3. 分别通过求导判定单调性，以及通过验证 $f(2-x)=f(x)$ 判断函数图象关于直线 $x=1$ 对称。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数的定义域为 $(0,2)$。 原函数可化为： $f(x)=\ln [x(2-x)]=\ln (2x-x^2)$。 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{2-2x}{2x-x^2}=\frac{2(1-x)}{x(2-x)}$。 当 $x\in (0,1)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增； 当 $x\in (1,2)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减。 因此，选项 (A) 和 (B) 均错误。 再检验对称性： 因为 $f(2-x)=\ln [(2-x)(2-(2-x))]=\ln [(2-x)x]=f(x)$， 所以函数图象关于直线 $x=\frac{x+(2-x)}{2}=1$ 对称。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的定义域、导数研究单调性、函数图象对称性。
2. 核心方法：利用对数性质化简求导及对称性公式 $f(2a-x)=f(x)$。
3. 避坑指南：求对数函数的性质时，切记先求定义域，且切勿盲目直接相加拆分（应在定义域内使用 $\ln a+\ln b=\ln (ab)$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数性质综合基础题。
2. 结论推广: 若复合函数满足 $f(2a-x)=f(x)$，则其图象关于直线 $x=a$ 对称。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I文-13 填-对数函数
• 2018-天津卷理-05 单-对数函数
• 2019-天津卷理-06 单-对数函数