2018-北京卷文-04 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的定义，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）设 $a,b,c,d$ 是非零实数，则“$ad=bc$”是“$a,b,c,d$ 成等比数列”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 若 $a,b,c,d$ 成等比数列，设公比为 $q$，则 $b=aq,c=a{q}^2,d=a{q}^3$，此时 $ad=a(a{q}^3)=a^2{q}^3$，$bc=(aq)(a{q}^2)=a^2{q}^3$，即 $ad=bc$ 恒成立（必要性成立）。
2. 若 $ad=bc$，例如取 $a=1,b=1,c=1,d=1$，此时满足 $ad=bc$，且它们成等比数列；但若取 $a=1,b=2,c=2,d=4$，满足 $1\times 4=2\times 2$（即 $ad=bc$），但列为 $1,2,2,4$，其后项与前项比值不等，不是等比数列（充分性不成立）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

• 必要性：若 $a,b,c,d$ 成等比数列，设公比为 $q$，则 $b=aq,c=a{q}^2,d=a{q}^3$，则 $ad=a\cdot a{q}^3=a^2{q}^3$，$bc=aq\cdot a{q}^2=a^2{q}^3$，显然 $ad=bc$ 成立。
• 充分性：若 $ad=bc$，例如取 $a=1,b=2,c=2,d=4$，满足 $1\times 4=2\times 2$，但 $\frac{b}{a}=2$，$\frac{c}{b}=1$，公比不相等，故 $a,b,c,d$ 不成等比数列。 因此，“$ad=bc$”是“$a,b,c,d$ 成等比数列”的必要而不充分条件。 故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列的判定与性质、充要条件。
2. 核心方法：定义法与反例法。
3. 避坑指南：切忌将比例性质误认为等比数列的等价条件，注意反例的构造。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考逻辑推理与数列结合的常考题型。
2. 结论推广: 对于四项数，等比数列满足 $bc=ad$ 且 $b^2=ac,c^2=bd$ 等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-07 单-等比数列单调性充要
• 2013-大纲卷理-06 单-等比数列定义与公比
• 2014-新课标II卷理-17 解-等比数列定义与通项公式