2018-江苏卷-02 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数的实部与虚部概念。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）若复数 $z$ 满足 $i\cdot z=1+2i$，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z$ 的实部为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分离变量 z：由 $i\cdot z=1+2i$，得 $z=\frac{1+2i}{i}$。
2. 化简复数：进行复数除法运算。

• 方法一：分子分母同乘以 $-i$。 $z=\frac{(1+2i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-i-2i^2}{1}=-i+2=2-i$。
• 方法二：直接利用分母为 $i$ 的简便算法（$\frac{1}{i}=-i$）。 $z=\frac{1}{i}+\frac{2i}{i}=-i+2=2-i$。

3. 确定实部：对于复数 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，其实部为 $a$。

• 这里 $z=2-i$，故实部为 2。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 2

【解析过程】 由 $i\cdot z=1+2i$ 得： $z=\frac{1+2i}{i}$ $z=\frac{1}{i}+\frac{2i}{i}$ $z=-i+2$ 即 $z=2-i$。 因此，复数 $z$ 的实部为 2。

故填入：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 实部与虚部的定义：复数 $z=a+bi$ 中，$a$ 是实部，$b$ 是虚部（注意虚部不带 $i$）。
2. i 的倒数：熟记 $\frac{1}{i}=-i$ 可以显著提高运算速度。
3. 常见陷阱：有些同学可能会把 $z$ 误看作 $1+2i$ 的共轭或者直接把虚部 $-1$ 当作答案，审题需仔细。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个模型：

• 复平面投影：复数 $z=2-i$ 在复平面内对应点 $(2,-1)$。
• 实部对应点在 $x$ 轴（实轴）上的坐标。
• 虚部对应点在 $y$ 轴（虚轴）上的坐标。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义