2019-全国卷II文-15 填-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）$△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$。已知 $b\sin A+a\cos B=0$，则 $B=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 利用正弦定理将边转化成角的正弦：$a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$。
2. 将其代入已知条件 $b\sin A+a\cos B=0$ 中化简。
3. 结合三角形内角取值范围求出角 $B$ 的大小。

✅【答案】

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$\frac{3\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R$，得： $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$。 代入已知等式 $b\sin A+a\cos B=0$ 中，得： $(2R\sin B)\sin A+(2R\sin A)\cos B=0$。 因为在 $△ABC$ 中，$2R\sin A\ne 0$，两边同除以 $2R\sin A$ 得： $\sin B+\cos B=0⟹\sin B=-\cos B$。 由于 $\cos B\ne 0$，两边同除以 $\cos B$ 得： $\tan B=-1$。 因为 $B$ 是 $△ABC$ 的内角，故 $B\in (0,\pi )$， 所以 $B=\frac{3\pi }{4}$。 故答案为：$\frac{3\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、边角互化。
2. 核心方法：利用正弦定理将边化为角。
3. 避坑指南：注意正切值为负时，结合三角形内角范围确定唯一解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解三角形经典填空题。
2. 结论推广: 熟练掌握三角形中边角互化的常用代数手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

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