2020-北京卷-20 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于设而不求法、坐标转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）20. 已知椭圆 $C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 过点 $A (- 2, - 1)$ ，且 $a = 2 b$ 。

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）过点 $B (- 4, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $M, N$ ，直线 $M A, N A$ 分别交直线 $x = - 4$ 于点 $P, Q$ 。求 $\frac{∣ P B ∣}{∣ B Q ∣}$ 的值。

🔍【思路分析】

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（Ⅰ）椭圆方程求解：

代入点坐标： 将 $A (- 2, - 1)$ 代入方程得到一个关于 $a, b$ 的等式。

参数关系： 结合 $a = 2 b$ 联立方程组，求出 $a^{2}$ 和 $b^{2}$ 。

（Ⅱ）定值问题证明：

设直线与交点： 设直线 $M N$ 方程为 $y = k (x + 4)$ ，设 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 。

联立方程： 联立直线与椭圆方程，写出韦达定理。

求 $P, Q$ 坐标： - 直线 $M A$ 过 $A (- 2, - 1)$ 和 $M (x_{1}, y_{1})$ ，写出直线方程并求出其在 $x = - 4$ 处的纵坐标 $y_{P}$ 。

同理求出 $y_{Q}$ 。

目标转化： 因为 $B (- 4, 0)$ 在直线 $x = - 4$ 上，所以 $∣ P B ∣ = ∣ y_{P} ∣$ ， $∣ B Q ∣ = ∣ y_{Q} ∣$ 。只需证明 $y_{P} + y_{Q} = 0$ 即可得到比值为 1。

✅【答案】

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$y_{P} + y_{Q} = 0$ ，即 $y_{P} = - y_{Q}$

✍【详细解析】

Abstract

因为椭圆经过点 $A (- 2, - 1)$ ，所以： $\frac{( - 2 ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( - 1 ) ^{2}}{b ^{2}} = 1 ⟹ \frac{4}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = 1$ 又已知 $a = 2 b ⟹ a^{2} = 4 b^{2}$ ，代入上式： $\frac{4}{4 b ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = 1 ⟹ \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = 1 ⟹ b^{2} = 2$ 则 $a^{2} = 4 b^{2} = 8$ 。故椭圆 $C$ 的方程为： $\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{2} = 1$ 。

由题意，点 $B (- 4, 0)$ ，点 $P, Q$ 的横坐标均为 $- 4$ 。设直线 $M N : y = k (x + 4)$ 。联立椭圆方程： ${y = k (x + 4) x^{2} + 4 y^{2} = 8 ⟹ x^{2} + 4 k^{2} (x + 4)^{2} - 8 = 0$ $(1 + 4 k^{2}) x^{2} + 32 k^{2} x + (64 k^{2} - 8) = 0$ 设 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ ，根据韦达定理： $x_{1} + x_{2} = \frac{- 32 k ^{2}}{1 + 4 k ^{2}}, x_{1} x_{2} = \frac{64 k ^{2} - 8}{1 + 4 k ^{2}}$

直线 $M A$ 的斜率 $k_{M A} = \frac{y _{1} - ( - 1 )}{x _{1} - ( - 2 )} = \frac{y _{1} + 1}{x _{1} + 2}$ 。直线 $M A$ 的方程为： $y + 1 = \frac{y _{1} + 1}{x _{1} + 2} (x + 2)$ 。令 $x = - 4$ ，得 $y_{P} = \frac{y _{1} + 1}{x _{1} + 2} (- 4 + 2) - 1 = \frac{- 2 ( y _{1} + 1 ) - ( x _{1} + 2 )}{x _{1} + 2} = \frac{- 2 y _{1} - x _{1} - 4}{x _{1} + 2}$ 。由于 $y_{1} = k (x_{1} + 4)$ ，代入得： $y_{P} = \frac{- 2 k ( x _{1} + 4 ) - ( x _{1} + 4 )}{x _{1} + 2} = \frac{- ( 2 k + 1 ) ( x _{1} + 4 )}{x _{1} + 2}$ 同理可得： $y_{Q} = \frac{- ( 2 k + 1 ) ( x _{2} + 4 )}{x _{2} + 2}$ 要证 $\frac{∣ P B ∣}{∣ B Q ∣} = 1$ ，即证 $y_{P} + y_{Q} = 0$ （由图易知 $P, Q$ 分布在 $x$ 轴两侧）。 $y_{P} + y_{Q} = - (2 k + 1) [\frac{x _{1} + 4}{x _{1} + 2} + \frac{x _{2} + 4}{x _{2} + 2}]$ 计算括号内部分： $\frac{( x _{1} + 4 ) ( x _{2} + 2 ) + ( x _{2} + 4 ) ( x _{1} + 2 )}{( x _{1} + 2 ) ( x _{2} + 2 )} = \frac{2 x _{1} x _{2} + 6 ( x _{1} + x _{2} ) + 16}{( x _{1} + 2 ) ( x _{2} + 2 )}$ 代入韦达定理： $2 (\frac{64 k ^{2} - 8}{1 + 4 k ^{2}}) + 6 (\frac{- 32 k ^{2}}{1 + 4 k ^{2}}) + 16 = \frac{128 k ^{2} - 16 - 192 k ^{2} + 16 ( 1 + 4 k ^{2} )}{1 + 4 k ^{2}}$ $= \frac{- 64 k ^{2} - 16 + 16 + 64 k ^{2}}{1 + 4 k ^{2}} = 0$ 故 $y_{P} + y_{Q} = 0$ ，即 $y_{P} = - y_{Q}$ 。所以 $\frac{∣ P B ∣}{∣ B Q ∣} = \frac{∣ y _{P} ∣}{∣ y _{Q} ∣} = 1$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

结构化简化： 在处理 $y_{P}$ 的表达式时，及时利用 $y_{1} = k (x_{1} + 4)$ 进行代换，可以避免出现 $y_{1}$ 与 $x_{1}$ 混杂的复杂运算。

几何意义： 证明 $y_{P} + y_{Q} = 0$ 实际上证明了点 $B (- 4, 0)$ 是线段 $P Q$ 的中点。这种关于 $x$ 轴对称的结论在解析几何中非常经典。

运算基本功： 联立方程后的韦达定理代入化简是分水岭，建议在计算 $2 x_{1} x_{2} + 6 (x_{1} + x_{2}) + 16$ 时先提取公因式。

📖【试题探源与推广】

Tip

调和分割： 本题背景其实与圆锥曲线的调和性质有关。在射影几何中， $A, M, N, B$ 等点构成的图形往往满足某种调和比，这保证了交点比例的稳定性。

特殊位置： 若直线 $l$ 的斜率不存在（垂直于 $x$ 轴），此时 $x_{1} = x_{2} = - 4$ ，直线 $M A, N A$ 会重合，题目中提到 $l$ 交椭圆于两点，故通常讨论 $k$ 存在的情况。

推广结论： 如果将点 $A$ 移至椭圆上其他位置，或者将直线 $x = - 4$ 移至其他定直线，类似的比例关系或定值结论依然可能存在，这正是北京卷解析几何压轴题的高频命题点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.01 椭圆专题全总结

18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质

2013-湖北卷理-21 解-椭圆方程与性质

2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程

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