2021-乙卷文-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查圆的参数方程。核心在于公式代入法、几何法求切线斜率的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷文）在直角坐标系 $xOy$ 中，$\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$，半径为 $1$．

（1）写出 $\odot C$ 的一个参数方程；

（2）过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

🔍【思路分析】

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本题是选考题中非常标准的基础题型：

• 第（1）问（圆的参数方程）：直接根据已知圆心和半径写出圆的标准方程，然后再利用参数表示法转换为参数方程即可。注意： 为了避免与第（2）问极坐标系中的极角 $\theta$ 发生符号冲突，建议圆的参数使用 $\alpha$ 或 $t$。

• 第（2）问（切线与极坐标方程）：先在平面直角坐标系中求出过点 $F$ 的两条切线方程。因为点在圆外，利用“圆心到直线的距离等于半径”这一几何性质即可求出直线的斜率 $k$。写出直角坐标方程后，利用 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$ 进行代换，即可得到极坐标方程。

✅【答案】

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圆心 $C(2,1)$ 到切线的距离等于半径 $r=1$，即

✍【详细解析】

Abstract

（1）写出 $\odot C$ 的一个参数方程

因为 $\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$，半径为 $r=1$，

所以 $\odot C$ 的直角坐标系标准方程为：

$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1$

根据圆的参数方程的一般形式，可写出 $\odot C$ 的一个参数方程为：

$\{\begin{array}{l}x=2+\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha \end{array}(\alpha \text{ 为参数，}\alpha \in [0,2\pi ))$

（2）求两条切线的极坐标方程

由题意可知，过点 $F(4,1)$ 的切线不与 $x$ 轴垂直（若垂直，则方程为 $x=4$，圆心 $C(2,1)$ 到 $x=4$ 的距离为 $2>1$，不相切），故两条切线方程的斜率必定存在。

设切线方程为 $y-1=k(x-4)$，一般式展开为：

$kx-y-4k+1=0$

因为直线与 $\odot C$ 相切，所以圆心 $C(2,1)$ 到切线的距离等于半径 $r=1$，即：

$d=\frac{|2k-1-4k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=1$

化简得：

$\frac{|-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$

两边平方并整理得：

$4k^2=k^2+1⟹3k^2=1⟹k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

所以切线的直角坐标方程为：

$y-1=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}(x-4)$

即 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x\mp \frac{4\sqrt{3}}{3}+1$。

以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，有代换关系式：

$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$

代入切线方程得：

$\rho \sin \theta -1=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}(\rho \cos \theta -4)$

整理可得这两条切线的极坐标方程分别为：

当 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时：$\sqrt{3}\rho \cos \theta -3\rho \sin \theta -4\sqrt{3}+3=0$

当 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时：$\sqrt{3}\rho \cos \theta +3\rho \sin \theta -4\sqrt{3}-3=0$

(注：直接写为 $\rho \sin \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{3}(\rho \cos \theta -4)+1$ 亦可作为最终答案得分)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 参数字母冲突的陷阱：圆的参数方程习惯用 $\theta$ 作参数（如 $\{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\ y=b+r\sin \theta \end{array}$），但在极坐标系中 $\theta$ 专指“极角”。在同一道题中，如果既有参数方程又有极坐标，绝对不能用同一个字母 $\theta$ 表示两个不同的几何意义，必须用 $\alpha$、$t$ 或 $\phi$ 替代圆的参数，否则在逻辑上是不严谨的。

2. 直线与圆相切的处理：解析几何中处理直线与圆相切，首选“几何法”（即圆心到直线的距离 $d=r$），运算量远远小于“代数法”（联立方程令 $\Delta =0$）。

3. 互化基本功：熟练掌握 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$ 以及 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 是解决此类选考题的核心。代换后可根据情况决定是否需要化为含 $\sin (\theta \pm \phi )$ 的形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程
• 2014-北京卷理-03 单-圆参数方程
• 2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程