本题导读
本题考查函数的零点与方程的根，以及切线方程。
📌【题干】
Question
（2021年北京卷）已知函数 ，给出下列四个结论：
① 若 ，则 有两个零点；
② ，使得 有一个零点；
③ ，使得 有三个零点；
④ ，使得 有三个零点．
以上正确结论的序号是__________．
🔍【思路分析】
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识别问题类型：本题考查函数的零点问题，本质上是方程根的个数问题。由于函数含有绝对值、对数和一次项，直接代数求解困难，应优先考虑数形结合思想。
求解策略：
等价转化：令 ，转化为 。这等价于考查曲线 与动直线 （恒过定点 ）的交点个数。
作图分析：曲线 分为两段：
左支： ()，单调递减，向下凸。
右支： ()，单调递增，向上凸。
利用导数求临界相切状态：分别求出直线从 出发与左支、右支相切时的斜率 的临界值，然后通过旋转直线（改变斜率 的大小）来判断交点个数。
✅【答案】
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①②④
✍【详细解析】
Abstract
将 转化为 。
考查动直线 与曲线 的交点情况。直线恒过定点 。
对于①：
当 时，直线方程为 。
由 ，可解得 或 ，即 或 。
显然有两个交点，即 有两个零点，故①正确。
对于②：
考查直线 与曲线左支 () 相切的情形。
设切点为 ，对 求导得 。
由切线斜率和切点在直线上，列出方程组：
将 代入第一式：。
解得：
所以，存在 ，使得直线只与曲线左支有唯一的一个交点（此时直线由于斜率小于0，与右支永远不会相交），即 只有一个零点，故②正确。
对于③：
直线 若与曲线有三个交点，考虑 时的几何分布。
直线与左支 () 有两个交点的条件是：斜率 在切线斜率与过定点 的斜率之间。
过 时，。
因此，与左支有两个交点的条件是：。
同时，要求直线与右支 () 有一个交点，必须在 时直线的值大于 （因为右支从 开始且增长极为缓慢），即要求 。
即满足三个交点需同时满足：
显然此不等式组无解。因此不存在 使得函数有三个零点，故③错误。
对于④：
考查 时，直线 与曲线右支 () 相切的情形。
设切点为 ，对 求导得 。
同理列出方程组：
解得：
此时，切线斜率 。
当 在 到切线斜率之间（即 ）时，由于对数函数右支呈“上凸”形状，从 出发的平缓直线会穿透对数函数，与其交于两点。
同时，只要 ，直线 必定与单调递减的左支 交叉产生一个交点。
因此，总交点数为 个。所以存在 （如取 在上述区间内），使得函数有三个零点，故④正确。
结论：正确的结论序号是 ①②④。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：
函数零点等价转化：将 转化为 ，进而转为两图像交点问题，是高中数学最核心的方法之一。
切线临界状态法：在处理动直线与固定曲线的交点个数变化时，相切状态往往是交点个数发生突变的临界点。通过导数求出相切时的参数值是破题的关键。
易错点提醒：
忽视对数函数的凸偶性：对数函数 () 是上凸的（二阶导数 ），因此一条过定点的割线很容易与其产生两个交点；而指数函数则是下凸的，这在画草图时极易画错，导致误判。
定点验证遗漏：在判断第③项时，必须要验证直线穿过 轴的关键点 ，以此来约束两支交点共存的可能性区间。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：待补
结论推广：待补
🔗【关联脉络】
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