2021-浙江卷-21 解-抛物线综合

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与性质。核心在于设而不求 (韦达定理)、参数分离与换元的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）21. 如图，已知 $F$ 是抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点，$M$ 是抛物线的准线与 $x$ 轴的交点，且 $|MF|=2$。

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与直线 $MA,MB,AB$，$x$ 轴依次交于点 $P,Q,R,N$，且 $|RN{|}^2=|PN|\cdot |QN|$，求直线 $l$ 在 $x$ 轴上截距的范围。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问： 根据 $|MF|=p=2$ 即可直接写出方程。 第二问： - 坐标化描述： 设 $N(n,0)$，即直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为 $n$。直线 $l$ 的方程可设为 $x=\frac{y}{2}+n$。

• 转化几何条件： 由于 $P,Q,R,N$ 都在直线 $l$ 上，长度之比可以转化为纵坐标之比，即 $y_R^2=|y_P\cdot y_Q|$。
• 联立求解： 设 $AB:x=ty+1$。分别联立 $MA,MB,AB$ 与直线 $l$ 的方程，求出 $y_P,y_Q,y_R$ 的表达式。
• 代数化简（难点）： 利用韦达定理消去 $A,B$ 的坐标，得到一个关于 $n$ 和 $t$ 的等式。
• 求范围： 将等式变形为 $n$ 的表达式，利用 $t$ 的存在性（判别式或函数值域）反求 $n$ 的范围。

✍【详细解析】

Abstract

（1）求抛物线方程 由抛物线定义，焦点 $F(\frac{p}{2},0)$，准线 $x=-\frac{p}{2}$。 准线与 $x$ 轴交点 $M(-\frac{p}{2},0)$。 故 $|MF|=\frac{p}{2}-(-\frac{p}{2})=p=2$。 所以抛物线方程为：$y^2=4x$。

（2）求截距 $n$ 的范围 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，直线 $AB:x=ty+1$。 联立 $\{\begin{array}{l}x=ty+1\\ y^2=4x\end{array}⟹y^2-4ty-4=0$。 由韦达定理：$y_1+y_2=4t$，$y_1{y}_2=-4$。

设 $N(n,0)$，直线 $l:x=\frac{y}{2}+n⟹y=2(x-n)$。

• 求 $y_R$： 联立 $AB$ 与 $l$，得 $ty+1=\frac{y}{2}+n⟹y_R=\frac{2(n-1)}{2t-1}$。
• 求 $y_P,y_Q$： 直线 $MA$ 经过 $M(-1,0)$ 和 $A(x_1,y_1)$，其方程为 $y=\frac{y_1}{x_1+1}(x+1)$。 联立直线 $l:x=\frac{y}{2}+n$ 得：$y_P=\frac{2(n+1)y_1}{2x_1+2-y_1}=\frac{4(n+1)y_1}{y_1^2-2y_1+4}$。 同理可得 $y_Q=\frac{4(n+1)y_2}{y_2^2-2y_2+4}$。

代入条件 $y_R^2=|y_P\cdot y_Q|$： 经过繁杂的代数运算（利用 $y_1{y}_2=-4$ 和 $y_1+y_2=4t$ 简化分母）： 最终可化简得： ${\left(\frac{n+1}{n-1}\right)}^2=\frac{3+4t^2}{(2t-1{)}^2}$ (此处省略中间约 5 步硬核计算)

参数分离： 令 $k=(\frac{n+1}{n-1}{)}^2$，则 $k=\frac{4t^2+3}{4t^2-4t+1}$。 整理为关于 $t$ 的一元二次方程：$4(k-1)t^2-4kt+(k-3)=0$。 因为 $t$ 是实数，所以判别式 $\Delta \ge 0$： $\Delta =(4k{)}^2-4[4(k-1)](k-3)\ge 0$ $16k^2-16(k^2-4k+3)\ge 0⟹64k-48\ge 0⟹k\ge \frac{3}{4}$

又由于 $k=(\frac{n+1}{n-1}{)}^2$ 且 $k\ne 1$（若 $k=1$ 则 $n$ 无解，此时 $t$ 的方程退化）： 代回 $n$： ${\left(\frac{n+1}{n-1}\right)}^2\ge \frac{3}{4}$ 解得：$n^2+14n+1\ge 0$ 且 $n\ne 1$。 解方程 $n^2+14n+1=0$ 得 $n=-7\pm 4\sqrt{3}$。 结合不等式方向及分母不为 $0$ 的条件，最终范围为： $(-\infty ,-7-4\sqrt{3}]\cup [-7+4\sqrt{3},1)\cup (1,+\infty )$。

✅【答案】

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(1) 抛物线方程为 $y^2=4x$

(2) 直线 $l$ 在 $x$ 轴上截距的范围为 $(-\infty ,-7-4\sqrt{3}]\cup [-7+4\sqrt{3},1)\cup (1,+\infty )$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何条件的“平移”： 直线上线段长度之比等于纵坐标绝对值之比。这是解析几何中简化计算的常用技巧，避免了直接使用距离公式带入大量的根号。
• 计算耐力： 浙江卷压轴题的特点就是“思路不难，算死英雄”。在化简 $y_P\cdot y_Q$ 时，利用抛物线方程 $x=\frac{y^2}{4}$ 进行降次是提速的关键。

本题中涉及到过定点 $M$ 的两条直线 $MA,MB$ 与另一条直线的交点问题。在更高级的解法中，可以考虑以 $M$ 为原点进行坐标平移，然后利用齐次化方程（结合 $y^2=4x$ 与 $x=ty+1$）直接求出 $MA,MB$ 的斜率关系。这种“齐次化”思想在处理点在圆锥曲线上、且涉及两条射线斜率关系的题目时具有极强的快速求解效果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-07 单-抛物线方程
• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-广东卷理-20 解-抛物线方程