2022-甲卷文-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查消参化为普通方程。核心在于消参数法、坐标转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6}\\ y=\sqrt{t}\end{array}$ ($t$ 为参数)，曲线 $C_2$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=-\frac{2+s}{6}\\ y=-\sqrt{s}\end{array}$ ($s$ 为参数)．

（1）写出 $C_1$ 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_3$ 的极坐标方程为 $2\cos \theta -\sin \theta =0$，求 $C_3$ 与 $C_1$ 交点的直角坐标，及 $C_3$ 与 $C_2$ 交点的直角坐标．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（消去参数）：通过观察参数方程中 $y$ 和参数 $t$ 的关系（$y=\sqrt{t}$），直接得出 $t=y^2$ 并代入 $x$ 的表达式中，完成消参。特别注意： $\sqrt{t}$ 隐含了 $y⩾0$ 的限制条件，必须在普通方程后注明，否则轨迹会多出一半。

2. 第二问（极坐标互化与求交点）：

   • 化简 $C_2$：同理，消去参数 $s$，注意此时 $y=-\sqrt{s}⩽0$。

   • 极坐标化为直角坐标：对 $C_3$ 的极坐标方程两边同乘 $\rho$，利用 $\rho \cos \theta =x$ 和 $\rho \sin \theta =y$ 转化为直角坐标方程（直线方程）。

   • 联立求解：将直线的普通方程分别与 $C_1,C_2$ 的普通方程联立求解二次方程组，结合 $y$ 的取值范围验证并写出交点坐标。

✅【答案】

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(1) $y^2=6x-2(y⩾0)$

(2) $C_3$ 与 $C_1$ 的交点为 $(\frac{1}{2},1)$ 与 $(1,2)$

$C_3$ 与 $C_2$ 的交点为 $(-\frac{1}{2},-1)$ 与 $(-1,-2)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）写出 $C_1$ 的普通方程

1. 提取参数表达式：

   已知曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6}\\ y=\sqrt{t}\end{array}$ ($t$ 为参数且 $t⩾0$)．

2. 实施代入消元：

   由 $y=\sqrt{t}$ 可知，$y⩾0$，且两边平方得 $t=y^2$．

   将 $t=y^2$ 代入 $x$ 的表达式中：

   $x=\frac{2+y^2}{6}$

   整理得：

   $y^2=6x-2$

3. 补充范围限制：

   由于原参数方程限制了 $y⩾0$，所以该普通方程仅表示抛物线上半部分的一段．

   结论：曲线 $C_1$ 的普通方程为 $y^2=6x-2(y⩾0)$．

（2）求 $C_3$ 与 $C_1,C_2$ 交点的直角坐标

1. 化简 $C_2$ 的普通方程：

曲线 $C_2$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=-\frac{2+s}{6}\\ y=-\sqrt{s}\end{array}$ ($s$ 为参数且 $s⩾0$)．

由 $y=-\sqrt{s}$ 知 $y⩽0$，两边平方得 $s=y^2$．

代入 $x$ 的表达式：$x=-\frac{2+y^2}{6}⟹y^2=-6x-2$．

故 $C_2$ 的普通方程为 $y^2=-6x-2(y⩽0)$．

2. 将 $C_3$ 化为直角坐标方程：

曲线 $C_3$ 的极坐标方程为 $2\cos \theta -\sin \theta =0$．

两边同乘极径 $\rho$（因为 $\rho =0$ 即原点也满足 $2x-y=0$，故同乘等价）：

$2\rho \cos \theta -\rho \sin \theta =0$

根据转换公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，代入得：

$2x-y=0⟹y=2x$

即 $C_3$ 是一条过原点、斜率为 $2$ 的直线．

3. 求解 $C_3$ 与 $C_1$ 的交点：

联立方程组：

$\{\begin{array}{l}y=2x\\ y^2=6x-2\end{array}(y⩾0)$

代入消去 $y$ 得：$(2x{)}^2=6x-2⟹4x^2-6x+2=0$．

化简为：$2x^2-3x+1=0⟹(2x-1)(x-1)=0$．

解得 $x=\frac{1}{2}$ 或 $x=1$．

• 当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$y=1⩾0$（符合条件），交点为 $(\frac{1}{2},1)$；

• 当 $x=1$ 时，$y=2⩾0$（符合条件），交点为 $(1,2)$．

  故 $C_3$ 与 $C_1$ 交点的直角坐标为 $(\frac{1}{2},1)$ 与 $(1,2)$．

4. 求解 $C_3$ 与 $C_2$ 的交点：

联立方程组：

$\{\begin{array}{l}y=2x\\ y^2=-6x-2\end{array}(y⩽0)$

代入消去 $y$ 得：$(2x{)}^2=-6x-2⟹4x^2+6x+2=0$．

化简为：$2x^2+3x+1=0⟹(2x+1)(x+1)=0$．

解得 $x=-\frac{1}{2}$ 或 $x=-1$．

• 当 $x=-\frac{1}{2}$ 时，$y=-1⩽0$（符合条件），交点为 $(-\frac{1}{2},-1)$；

• 当 $x=-1$ 时，$y=-2⩽0$（符合条件），交点为 $(-1,-2)$．

  故 $C_3$ 与 $C_2$ 交点的直角坐标为 $(-\frac{1}{2},-1)$ 与 $(-1,-2)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 极坐标化直角的“同乘 $\rho$”法：当极坐标方程中只有 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$（且等于 0）时，方程两边同乘以 $\rho$ 就能迅速利用 $x,y$ 的转换公式。

  2. 二次方程根的求解：十字相乘法是提高计算效率的关键。

• 避坑指南：

  • 等价性陷阱（重中之重）：将参数方程转化为普通方程时，必须确保其表示的图形完全一致（等价性）。本题的参数方程中 $y=\pm \sqrt{\dots }$ 严格限定了曲线只是半个抛物线，遗漏 $(y⩾0)$ 或 $(y⩽0)$ 是该题最主要的扣分点。如果在解答题中没有写出此范围限制，通常会被扣除 1-2 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程
• 2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程
• 2014-湖北卷理-16 填-参数方程互化