2022-甲卷理-10 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查标准方程与性质，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$，点 $P,Q$ 均在 $C$ 上，且关于 $y$ 轴对称．若直线 $AP,AQ$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$，则 $C$ 的离心率为()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 明确基本条件：已知左顶点 $A(-a,0)$，点 $P,Q$ 关于 $y$ 轴对称，则可设 $P(x_0,y_0)$，$Q(-x_0,y_0)$。

2. 方法一（代数运算法）：直接利用斜率公式写出 $k_{AP}$ 和 $k_{AQ}$ 的表达式并相乘。再结合点 $P$ 在椭圆上，用 $a,b,x_0$ 替换 $y_0^2$，从而整体消元得出 $\frac{b^2}{a^2}$ 的值，最后计算离心率 $e$。

3. 方法二（几何对称转化法）：利用椭圆关于 $y$ 轴的对称性，引入右顶点 $B(a,0)$。通过对称性推导出 $k_{AQ}=-k_{BP}$，从而将 $k_{AP}\cdot k_{AQ}$ 转化为长轴两端点连线的斜率乘积 $k_{AP}\cdot k_{BP}$，直接套用二级结论求出 $\frac{b^2}{a^2}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：坐标代数推导法（通法）

1. 设点坐标：

   已知椭圆的左顶点为 $A(-a,0)$。

   设点 $P(x_0,y_0)$，因为点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $y$ 轴对称，所以 $Q(-x_0,y_0)$。

2. 写出斜率乘积：

   直线 $AP$ 的斜率为 $k_{AP}=\frac{y_0-0}{x_0-(-a)}=\frac{y_0}{x_0+a}$。

   直线 $AQ$ 的斜率为 $k_{AQ}=\frac{y_0-0}{-x_0-(-a)}=\frac{y_0}{a-x_0}$。

   由题意知，两者之积为 $\frac{1}{4}$：

   $k_{AP}\cdot k_{AQ}=\frac{y_0}{x_0+a}\cdot \frac{y_0}{a-x_0}=\frac{y_0^2}{a^2-x_0^2}=\frac{1}{4}\text{(1)}$

3. 利用椭圆方程消元：

   因为点 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上，所以：

   $\frac{y_0^2}{b^2}=1-\frac{x_0^2}{a^2}=\frac{a^2-x_0^2}{a^2}$

   变形可得：$y_0^2=\frac{b^2}{a^2}(a^2-x_0^2)$。

4. 求解参数比值与离心率：

   将 $y_0^2$ 代入式 ①：

   $\frac{\frac{b^2}{a^2}(a^2-x_0^2)}{a^2-x_0^2}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$

   根据离心率公式 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$：

   $e=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

   。

方法二：几何对称与二级结论法（巧解）

1. 引入右顶点寻找对称性：

   设椭圆 $C$ 的右顶点为 $B(a,0)$。

   由于点 $P,Q$ 均在 $C$ 上且关于 $y$ 轴对称，点 $A,B$ 也关于 $y$ 轴对称。

   直线 $AQ$ 连接左顶点和左半区的点（假设），直线 $BP$ 连接右顶点和对称的右半区的点。由图形的对称对称性可知，直线 $AQ$ 的倾斜角与直线 $BP$ 的倾斜角互补，故它们的斜率互为相反数，即 $k_{AQ}=-k_{BP}$。

   (代数验证：$k_{AQ}=\frac{y_0}{a-x_0}$，$k_{BP}=\frac{y_0}{x_0-a}=-\frac{y_0}{a-x_0}=-k_{AQ}$)

2. 应用椭圆斜率乘积定理（第三定义）：

   根据椭圆的重要性质：椭圆上任意异于长轴端点的点 $P$ 到长轴两端点 $A,B$ 的连线斜率之积为常数 $-\frac{b^2}{a^2}$。

   即 $k_{AP}\cdot k_{BP}=-\frac{b^2}{a^2}$。

3. 计算结果：

   由题意 $k_{AP}\cdot k_{AQ}=\frac{1}{4}$。

   代入 $k_{AQ}=-k_{BP}$，得 $-k_{AP}\cdot k_{BP}=\frac{1}{4}⟹k_{AP}\cdot k_{BP}=-\frac{1}{4}$。

   所以 $-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{4}⟹\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$。

   离心率 $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

结论：

对应选项 A 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 整体消元法：在圆锥曲线问题中，遇到 $y_0^2$ 与 $x_0^2$ 的结构，利用曲线方程进行整体代换是降低代数复杂度的核心。

  2. 第三定义（斜率积定值模型）：牢记结论 $k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}$（对于双曲线为 $\frac{b^2}{a^2}$），在解答填空和选择题时可以“快速求解”同类考点。

• 规律总结：椭圆内关于坐标轴对称的两点（如 $P$ 和 $Q$），与长轴端点的连线斜率必定存在内在的相反数关系，这源于椭圆完美的双轴对称性。

• 避坑指南：在计算离心率时，千万别忘了公式是 $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，部分学生求出 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$ 后，容易凭直觉选 C（即 $1/2$），漏掉了“用 1 减去”再开方的步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义
• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质
• 2014-江西卷理-16 填-离心率