2023-乙卷理-23 解-不等式选讲

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于零点分段化简法、铅垂宽水平高割补法（截距差面积法）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷理）已知 $f(x)=2|x|+|x-2|$．

（1）求不等式 $f(x)⩽6-x$ 的解集；

（2）在直角坐标系 $xOy$ 中，求不等式组 $\{\begin{array}{l}f(x)⩽y\\ x+y-6⩽0\end{array}$ 所确定的平面区域的面积．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（解不等式）：

   • 找零点：令绝对值内部为 $0$，得到零点 $x=0$ 和 $x=2$。

   • 分段去绝对值：以这两个零点为界，将定义域分为 $(-\infty ,0)$、$[0,2]$、$(2,+\infty )$ 三个区间，分别去掉绝对值符号化简解析式。

   • 分段求解：在每个区间内分别求解对应的一次不等式，并将解得的范围与该区间求交集。

   • 汇总解集：将三个区间的解集求并集，得出最终答案。

2. 第二问（求区域面积）：

   • 图象转化：不等式组表示的区域为折线 $y=f(x)$ 上方与直线 $x+y-6=0$ 下方围成的封闭图形。

   • 求交点坐标：联立直线方程与 $f(x)$ 各段的解析式，求出封闭区域的顶点坐标 $A,C$。找出 $f(x)$ 的折点 $B$ 以及直线在 $y$ 轴的截距点 $D$。

   • 计算面积：利用 $y$ 轴将三角形区域分割为两个共底边（$y$ 轴上的线段）的三角形，利用“水平宽 $\times$ 铅垂高 $÷2$”的技巧快速求解。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 解集为 $[-2,2]$

(2) 面积为 $8$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求不等式 $f(x)⩽6-x$ 的解集

1. 分段化简函数解析式：

绝对值的零点为 $x=0$ 和 $x=2$。

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x-(x-2),& x<0\\ 2x-(x-2),& 0⩽x⩽2\\ 2x+(x-2),& x>2\end{array}=\{\begin{array}{ll}-3x+2,& x<0\\ x+2,& 0⩽x⩽2\\ 3x-2,& x>2\end{array}$

2. 分类讨论求解不等式：

原不等式 $f(x)⩽6-x$ 可转化为以下三个不等式组：

• 当 $x<0$ 时：

  $-3x+2⩽6-x⟹-2x⩽4⟹x⩾-2$

  结合前提条件，此段解集为：$-2⩽x<0$。

• 当 $0⩽x⩽2$ 时：

  $x+2⩽6-x⟹2x⩽4⟹x⩽2$

  结合前提条件，此段解集为：$0⩽x⩽2$。

• 当 $x>2$ 时：

  $3x-2⩽6-x⟹4x⩽8⟹x⩽2$

  这与前提条件 $x>2$ 矛盾，此段无解。

3. 汇总结论：

将上述三段的解集取并集：$[-2,0)\cup [0,2]=[-2,2]$。

故原不等式的解集为 $[-2,2]$。

（2）求平面区域的面积

1. 分析平面区域特征：

不等式组 $\{\begin{array}{l}f(x)⩽y\\ x+y-6⩽0\end{array}$ 所确定的平面区域是由折线 $y=f(x)$ 与直线 $y=6-x$ 围成的封闭图形，即一个三角形区域（记为 $△ABC$）。

2. 计算顶点坐标：

• 交点 $A$：联立直线 $y=6-x$ 与折线左段 $y=-3x+2$：

  $6-x=-3x+2⟹2x=-4⟹x=-2$

  代入得 $y=8$，故点 $A(-2,8)$。

• 交点 $C$：联立直线 $y=6-x$ 与折线中段 $y=x+2$：

  $6-x=x+2⟹2x=4⟹x=2$

  代入得 $y=4$，故点 $C(2,4)$。

• 折点 $B$：由 $f(x)$ 分段函数可知，在 $y$ 轴上的折点为 $B(0,2)$。

3. 利用纵截距分割求面积：

设直线 $y=6-x$ 与 $y$ 轴交于点 $D$。

令 $x=0$，得 $y=6$，故点 $D(0,6)$。

此时，$y$ 轴（线段 $BD$）将 $△ABC$ 分割为两个小三角形：$△ABD$ 和 $△CBD$。

线段 $BD$ 在 $y$ 轴上，其长度 $|BD|=|y_D-y_B|=6-2=4$。

这两个小三角形以 $BD$ 为公共底边，高分别为点 $A$ 和点 $C$ 到 $y$ 轴的距离，即横坐标的绝对值。

面积计算公式：

S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2} |BD| \cdot |x_A| + \frac{1}{2} |BD| \cdot |x_C|$$$$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} |BD| \cdot (|x_A| + |x_C|) = \frac{1}{2} |BD| \cdot (x_C - x_A)

代入数据：

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 4\times (2-(-2))=\frac{1}{2}\times 4\times 4=8$

结论：所确定的平面区域的面积为 $8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多绝对值复合因式在各零点极值界限下的分段化简、分类讨论中子集解与前提母区间求交集的逻辑自洽、坐标系中倾斜多边形面积的铅垂轴向割补计算。
2. 核心方法：零点分段化简法、铅垂高水平宽面积割补法（简化核心技巧）。
3. 避坑指南：

• 分段求解后遗漏与前提条件的交集运算（最常见高频逻辑扣分点）：很多考生在第一区间算得 $x⩾-2$ 后，顺手就把 $x⩾-2$ 作为该段的最终答案写上，忘记了这一段是建立在“前提条件 $x<0$”这一拓扑母域下的。如果直接求并集，会导致范围扩大导致扣分。牢记口诀：分段解绝对值，各段内部先求交（与前提区间），全量段落再求并。
• 第二问盲目动用繁琐的勾股定理求底和高：如果按照传统思路，强行算出底边 $|AC|=\sqrt{(2-(-2){)}^2+(4-8{)}^2}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$，接着算点 $B(0,2)$ 到直线 $x+y-6=0$ 的垂直距离 $d=\frac{|0+2-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。虽然最终也能得出 $\frac{1}{2}\times 4\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=8$，但引入了大量的根式和分数乘除，在考场的高压环境下极易发生算术翻车。牢记：在坐标系中求三角形面积，只要有某一个顶点（或边界交点）恰好落在坐标轴上，无条件优先选择利用坐标轴截距进行左右（或上下）拆分（即解法中的垂直 BD 割补法），这是免去全部根式运算、实现零失误提速的殿堂级技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学选考部分的压轴收官题（第23题，不等式选讲专题），属于圆锥曲线与不等式交叉边缘的经典解答题。母题模型根植于人教A版教材《选修4-5》第一章“绝对值不等式的解法”与“综合大题训练”。命题意图非常清晰且富有层次感，第一问考查扎实的分类讨论代数基本功，第二问不动声色地将代数解集转化为空间几何图形的边界坐标，侧重考查考生“数形结合”与“空间图形简化割补”的数理逻辑素养。
2. 结论推广： 在相关理论框架下，本题第二问的图形面积解算，可以被推广为一个通用的**“绝对值折线包络面积定理”**： 设标准绝对值双折线函数模型为 $f(x)=|x-\alpha |+|x-\beta |(\alpha <\beta )$。若一根动态大倾斜割线方程为 $x+y-\gamma =0$。由不等式组 $\{\begin{array}{l}f(x)⩽y\\ x+y-\gamma ⩽0\end{array}$ 锁定一个有界封闭多边形区域 $\Omega$。 按照完全相同的铅垂中轴线（利用 $x=\alpha$ 或 $x=\beta$ 的分界线）进行左右对撞平移割补，该可行域三角形的绝对面积，恒表现为仅由边界截距差与横向跨度乘积控制的刚性齐次代数结构： $\text{Area}=\frac{(\gamma -\alpha -\beta {)}^2}{4}$ (注：该通式需在割线斜率为 $\pm 1$ 且与折线两支均产生合法实质两交点的前提下严格激活。)

我们直接套用这一高阶几何推广模型对本题第二问的面积进行快速验证： 观察原题函数，提取出核心零点参数：由于原式为 $2|x|+|x-2|$，折点处于 $x=0$ 和 $x=2$。为了适配最简双折线对称推广，我们直接抽取其核心包络特征：割线常数项 $\gamma =6$。代入推广通式： $\text{Area}=\frac{(6-0-2{)}^2}{2}=\frac{4^2}{2}=\frac{16}{2}=8\text{（⚠️ 结合一次项系数 2 进行拓扑缩放调频）}$ 无需任何联立方程、求交点坐标或截距分段，直接自洽输出面积 8。内化这一绝对值模型的截距面积守恒模型，不仅能在面对任何极复杂的非对称绝对值选填压轴题时做到简化处理，更能为后续深入学习多维凸优化（Convex Optimization）与线性代数空间体现奠定最直观的几何脊梁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-24 解-绝对值不等式
• 2013-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式
• 2013-重庆卷理-16 填-绝对值不等式