2023-新高考I卷-04 单-复合函数单调性

本题导读

本题考查复合函数的单调性，以及二次函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）设函数 $f(x)=2^{x(x-a)}$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（ ）

A. $(-\infty ,-2]$　　　　B. $[-2,0)$　　　　C. $(0,2]$　　　　D. $[2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 拆解复合函数：设外层函数为 $y=2^u$，内层函数为 $u=g(x)=x^2-ax$。
2. 运用单调性法则：外层指数函数 $y=2^u$ (底数 $2>1$) 为单调递增函数。由复合函数“同增异减”原则知，要求 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，等价于内层函数 $g(x)$ 必在 $(0,1)$ 上单调递减。
3. 对称轴列不等式：内层抛物线 $g(x)$ 开口向上，对称轴为 $x=\frac{a}{2}$，其单调递减区间为 $\left(-\infty ,\frac{a}{2}\right]$。只需保证区间 $(0,1)$ 包含于该递减区间内即可求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定内外层函数单调性关系 设 $f(x)=2^{g(x)}$，其中 $g(x)=x^2-ax$。 因为外层函数 $y=2^u$ 在实数集上为单调递增函数。 根据复合函数“同增异减”性质可知，要使 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，只需内层二次函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减。

第二步：利用二次函数单调性列不等式 二次函数 $g(x)=x^2-ax$ 的图象开口向上，其对称轴方程为 $x=\frac{a}{2}$。 故 $g(x)$ 的最大单调递减区间为 $\left(-\infty ,\frac{a}{2}\right]$。 因为 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，所以 $(0,1)$ 必须是其单调递减区间的子集，即： $(0,1)\subseteq \left(-\infty ,\frac{a}{2}\right]$

第三步：求解参数范围 由上述区间包含关系可得，右端点必须满足： $\frac{a}{2}⩾1$ 解得： $a⩾2$ 表示为区间形式即为 $[2,+\infty )$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

4. 核心考点：复合函数的“同增异减”法则、二次函数的图象与单调区间。
5. 核心方法：结构化分解法、子集包含法。
6. 避坑指南：

• 区分“在区间上单调”与“单调区间为…”：“在 $(0,1)$ 上单调”说明 $(0,1)$ 是其最大单调区间的子集，需列不等式而非等式。
• 临界等号判定：当 $\frac{a}{2}=1$ 时，二次函数的递减区间为 $(-\infty ,1]$，它完整包含了开区间 $(0,1)$，此时函数在 $(0,1)$ 内仍严格递减，故等号完全成立，切勿漏掉等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材关于指数函数与二次函数复合的单调性基础题型，侧重考查代数性质的统筹推导。
2. 结论推广：若将外层函数底数改为小于 1（例如 $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-ax}$），由“异减”原则，此时需内层二次函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增。对应控制条件则变为 $\frac{a}{2}⩽0⟹a⩽0$。理清内外层增减逻辑即可举一反三。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2026-北京卷-05 单-函数的性质
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13