2024-北京卷-03 单-点到直线距离

本题导读

本题考查解析几何基础运算，核心在于通过配方法或公式法求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式进行代数计算.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）圆 $x^2+y^2-2x+6y=0$ 的圆心到直线 $x-y+2=0$ 的距离为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $3\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 通过圆的一般方程提取圆心坐标（可利用配方法化为标准方程，或直接使用一般方程的圆心坐标公式）。
2. 将求得的圆心坐标直接代入点到直线的距离公式，计算并化简得出最终距离。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：公式法

第一步：求圆心坐标 已知圆的方程为一般形式 $x^2+y^2-2x+6y=0$。 对比圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，可得： $D=-2$，$E=6$。 根据圆心坐标公式 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$，可得圆心坐标为： $\left(-\frac{-2}{2},-\frac{6}{2}\right)=(1,-3)$。

第二步：计算点到直线的距离 已知直线方程为 $x-y+2=0$，圆心坐标为 $(1,-3)$。 根据点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入数值： $d=\frac{|1-(-3)+2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|1+3+2|}{\sqrt{1+1}}=\frac{6}{\sqrt{2}}$ 将分母有理化，分子分母同乘 $\sqrt{2}$： $d=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

方法二：配方法求圆心

对方程 $x^2+y^2-2x+6y=0$ 进行配方： $(x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)=1+9$ $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=10$ 由此可直接看出圆心为 $(1,-3)$，半径 $r=\sqrt{10}$（本题只需用到圆心）。 后续计算点到直线距离的步骤同方法一。

【答案】：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的一般方程与标准方程的互化、点到直线的距离公式。
2. 核心方法：配方法、公式代入计算法。
3. 避坑指南：代入点到直线距离公式时，分子带有绝对值符号，极易因为粗心将 $1-(-3)$ 错算成 $1-3=-2$ 导致失分；最后的结果记得进行分母有理化以匹配选项格式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考数学试卷中最基础的解析几何题目，源自教材必修第二册“圆与方程”的基础练习题。无复杂的高等数学背景，纯粹考查最基础的解析几何公式应用。
2. 结论推广: 在解析几何中，求解点与直线、直线与圆位置关系的相关距离或最值问题时，“先求圆心”是标准化核心流程。将该题推广至空间解析几何中，点到平面的距离公式具有高度相似的同构形式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$，体现了低维向高维迁移的代数统一性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2010-上海卷文-07 填-圆心到直线距离
• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2013-新课标II卷文-20 解-圆的方程与轨迹