2024-甲卷理-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标互化。核心在于坐标转化法、韦达定理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho =\rho \cos \theta +1$.

（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；

（2）直线 $l:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+a\end{array}$（$t$ 为参数）.若 $C$ 与 $l$ 交于 $A,B$ 两点，且 $|AB|=2$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第（1）问：利用极坐标与直角坐标的转换公式 $x=\rho \cos \theta$ 与 ${\rho }^2=x^2+y^2$，对极坐标方程进行代换和平方式消元，化简得到抛物线的直角坐标方程。
2. 第（2）问：将直线的参数方程代入曲线 $C$ 的方程，转化为关于参数 $t$ 的一元二次方程。由于该参数方程为非标准形式，利用弦长公式结合韦达定理 $|AB|=\sqrt{1^2+1^2}|t_1-t_2|$ 建立关于 $a$ 的等式求解，并检验判别式 $\Delta >0$。

✅【答案】

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(1) $y^2=2x+1$

(2) $a=\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求曲线 $C$ 的直角坐标方程

已知曲线 $C$ 的极坐标方程为： $\rho =\rho \cos \theta +1$ 代入转换公式 $x=\rho \cos \theta$，得： $\rho =x+1$ 两端同时平方，消去 $\rho$： ${\rho }^2=(x+1{)}^2$ 再将 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 代入上式： $x^2+y^2=x^2+2x+1$ 化简整理，得曲线 $C$ 的直角坐标方程为： $y^2=2x+1$

（2）求 $a$ 的值

将直线 $l$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+a\end{array}$ 代入曲线 $C$ 的直角坐标方程 $y^2=2x+1$ 中： $(t+a{)}^2=2t+1$ 展开并整理为关于 $t$ 的一元二次方程： $t^2+(2a-2)t+a^2-1=0$

设交点 $A,B$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$。直线与曲线交于两点，故判别式必须严格大于零： $\Delta =(2a-2{)}^2-4(a^2-1)=8-8a>0⟹a<1$

由韦达定理可知： $t_1+t_2=2-2a,t_1{t}_2=a^2-1$

因为直线 $l$ 的参数方程中 $x,y$ 的步长系数均为 $1$，所以其实际几何位移补偿系数为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 代入参数方程弦长公式得： $|AB|=\sqrt{2}|t_1-t_2|=\sqrt{2}\sqrt{(t_1+t_2{)}^2-4t_1{t}_2}=\sqrt{2}\sqrt{\Delta }$

将 $\Delta =8-8a$ 代入： $|AB|=\sqrt{2}\sqrt{8(1-a)}=\sqrt{16(1-a)}=4\sqrt{1-a}$

已知弦长 $|AB|=2$，建立等式求解： $4\sqrt{1-a}=2⟹\sqrt{1-a}=\frac{1}{2}$ 两边平方解得： $1-a=\frac{1}{4}⟹a=\frac{3}{4}$

经检验， $a=\frac{3}{4}<1$，符合 $\Delta >0$ 的必要条件。 所以，$a$ 的值为 $\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标互化、直线与圆锥曲线的位置关系、参数方程弦长公式的应用。
2. 核心方法：坐标代换法、韦达定理法、非标准参数方程弦长步长补偿法。
3. 避坑指南：

• 直线参数的陷阱：若参数方程未做标准化处理（即 $t$ 前系数的平方和不为 $1$），绝不能直接将 $|t_1-t_2|$ 等同于几何弦长，必须乘上位移补偿系数 $\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}$。本题中直线 $t$ 前系数均为 $1$，漏乘 $\sqrt{2}$ 会导致计算错误。
• 根的存在性检验：利用韦达定理算出参数 $a$ 后，需回代检验判别式 $\Delta >0$，以确保交点存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是全国卷选考模块“坐标系与参数方程”的经典题型。第一问源自极坐标系下抛物线定义的方程表示；第二问则是经典的直线与二次曲线交点弦长模型，考查对代数方程的化归与转化能力。
2. 结论推广：若直线的参数方程形式为 $\{\begin{array}{l}x=x_0+\alpha t\\ y=y_0+\beta t\end{array}$（ $\alpha ,\beta$ 为常数 ），则该直线上两点间的实际距离为 $d=\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}|t_1-t_2|$。这一推广公式绕开了将直线化为普通方程后再利用斜率公式联立的步骤，是处理直线与曲线交点线段长度问题的有效方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-15 填-直线参数方程
• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程
• 2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程