2025-北京卷-04 单-指数函数伸缩变换

本题导读

本题考查指数函数的底数转化及函数图象的横向伸缩变换规律，要求学生熟练掌握 $y=f(\omega x)$ 型变换中坐标的变化比例.

📌【题干】

Question

（2025年北京卷）为得到函数 $y=9^x$ 的图象，只需把函数 $y=3^x$ 的图象上的所有点()

A. 横坐标变成原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变

B. 横坐标变成原来的 2 倍，纵坐标不变

C. 纵坐标变成原来的 $\frac{1}{3}$ 倍，横坐标不变

D. 纵坐标变成原来的 3 倍，横坐标不变

🔍【思路分析】

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1. 统一函数底数：利用指数运算性质 $a^{mn}=(a^m{)}^n$，将目标函数 $y=9^x$ 转化为以 3 为底的形式，以便与原函数进行对比.
2. 对比结构：将原函数设为 $f(x)=3^x$，观察目标函数 $y=3^{2x}$ 中自变量 $x$ 前系数的变化.
3. 应用变换法则：根据函数图象水平伸缩变换法则：若 $y=f(x)\to y=f(\omega x)$ ($\omega >0$)，则图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega }$ 倍.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法：变换法则判定法（推荐）

1. 函数解析式转化： 目标函数为 $y=9^x$. 由于 $9=3^2$，根据指数幂的运算性质，可得： $y=9^x=(3^2{)}^x=3^{2x}$
2. 对比解析式结构： 设原函数为 $f(x)=3^x$，则目标函数可以表示为 $g(x)=f(2x)=3^{2x}$.
3. 推导变换结论： 由函数图象变换规律可知，由 $y=f(x)$ 得到 $y=f(2x)$，其中 $\omega =2$. 因此，需要将函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega }=\frac{1}{2}$ 倍. 故选：A

方法：特殊点验证法

1. 选取原函数上的特征点： 对于函数 $y=3^x$，取点 $P(2,9)$（此时 $3^2=9$）.
2. 寻找目标函数上纵坐标相同的点： 对于函数 $y=9^x$，令 $y=9$，得 $9^x=9^1$，解得 $x=1$. 即目标函数上对应的点为 $Q(1,9)$.
3. 比对坐标变化： 从点 $P(2,9)$ 到点 $Q(1,9)$： 纵坐标均为 9，保持不变；横坐标从 2 变为 1，即变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍. 由此可判定变换方式符合选项 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： -对数函数变换：同理，$y={\log }_{9}x=\frac{1}{2}{\log }_{3}x$，这是纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍.

2. 方法总结：

• 结构对齐：处理函数图象变换，最关键的动作是“结构对齐”。对于指数函数，底数的幂次关系（如 $3$ 与 $9=3^2$）通常隐含了自变量 $x$ 系数的缩放.

• 伸缩规律：

• 水平伸缩：$y=f(\omega x)$，横坐标变为 $1/\omega$ 倍（“系数大，图象窄”）.

• 垂直伸缩：$y=Af(x)$，纵坐标变为 $A$ 倍.

3. 避坑指南：极易将“横坐标变为原来的 $1/2$ 倍”记错为“$2$ 倍”，务必牢记 $x\to \omega x$ 时，坐标变化比例与系数是倒数关系.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若从 $y=a^x\to y=b^x$ ($a,b>1$)，则变换比例为 ${\log }_{b}a$ 倍。本题中 ${\log }_{9}3=\frac{1}{2}$.

2.方法的推广:

• 平移与伸缩复合： 若要得到 $y=f(\omega x+\varphi )$，通常遵循“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”的原则.若先平移 $\varphi$ 个单位，再伸缩 $\omega$ 倍，则解析式变为 $f(\omega x+\varphi )$；若先伸缩 $\omega$ 倍，再平移则需针对 $x$ 本身进行平移（即 $f(\omega (x+\frac{\varphi }{\omega }))$）.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-05 单-奇函数求值
• 2012-新课标卷文-11 单-指对恒成立
• 2013-安徽卷理-06 单-不等式的解集