2025-新高考II卷-10 多-奇函数与极值

本题导读

本题考查奇函数性质、分段函数解析式推导及利用导数确定函数单调性与极值.

📌【题干】

Question

（2025年新高考II卷）已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且当 $x>0$ 时， $f(x)=(x^2-3){\text{e}}^x+2$，则()

A. $f(0)=0$

B. 当 $x<0$ 时， $f(x)=-(x^2-3){\text{e}}^{-x}-2$

C. $f(x)⩾2$ 当且仅当 $x⩾\sqrt{3}$

D. $x=-1$ 是 $f(x)$ 的极大值点

🔍【思路分析】

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1. A选项：利用奇函数在 $x=0$ 处有定义则 $f(0)=0$ 判定。
2. B选项：设 $-x>0$ 代入已知解析式，利用 $f(x)=-f(-x)$ 求负半轴解析式。
3. C、D选项：求导确定 $x>0$ 时的单调性与极小值点，利用奇函数对称性轴向翻转推导 $x<0$ 时的单调性与极大值点，画出草图分析全域值域。

✅【答案】

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ABD

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定选项 A $\because f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且在 $x=0$ 处有定义， $\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)⟹f(0)=-f(0)⟹2f(0)=0⟹f(0)=0$。故 A 正确。

第二步：判定选项 B 当 $x<0$ 时， $-x>0$，代入已知条件得： $f(-x)=[(-x{)}^2-3]{\text{e}}^{-x}+2=(x^2-3){\text{e}}^{-x}+2$ $\because f(x)$ 是奇函数， $\therefore f(x)=-f(-x)=-(x^2-3){\text{e}}^{-x}-2$。故 B 正确。

第三步：判定选项 C、D 当 $x>0$ 时，对 $f(x)=(x^2-3){\text{e}}^x+2$ 求导： $f^{\prime }(x)=2x{\text{e}}^x+(x^2-3){\text{e}}^x=(x^2+2x-3){\text{e}}^x=(x+3)(x-1){\text{e}}^x$ $\because x>0$， $\forall x>0,x+3>0,{\text{e}}^x>0$。

• 当 $0<x<1$ 时， $f^{\prime }(x)<0$, $f(x)$ 单调递减；
• 当 $x>1$ 时， $f^{\prime }(x)>0$, $f(x)$ 单调递增。

$\therefore x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点，极小值为 $f(1)=-2\text{e}+2<0$。 令 $f(x)=2⟹(x^2-3){\text{e}}^x=0⟹x=\sqrt{3}$。 结合单调性，当 $x>0$ 时， $f(x)⩾2⟺x⩾\sqrt{3}$。

$\because f(x)$ 为奇函数，图象关于原点对称， $\forall x\in (0,1),f^{\prime }(x)<0⟹\forall x\in (-1,0),f^{\prime }(x)<0$（奇函数导数关于 $y$ 轴对称）， $\therefore f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$ 上单调递增，在 $(-1,0)$ 上单调递减。 $\therefore x=-1$ 是 $f(x)$ 的极大值点，故 D 正确。 极大值为 $f(-1)=-f(1)=2\text{e}-2\approx 3.44>2$。 这说明在负半轴 $x=-1$ 附近也存在 $f(x)⩾2$ 的区域，C 选项的“当且仅当”不成立。故 C 错误。

故选：ABD

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数性质 $f(0)=0$ 及 $f(x)=-f(-x)$；利用导数符号划分单调区间与极值点；对称性在值域分析中的应用。
2. 核心方法：单侧求导结合奇偶性图象对称翻转。
3. 避坑指南：C 选项易漏掉负半轴对称过去的极大值（波峰）同样可以大于 2 的情况，务必全域考虑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题底层源自人教A版必修第一册第三章《函数的概念与性质》中关于“分段函数的奇偶性”以及选择性修第二册第六章《导数及其应用》中“利用导数研究多项式极值”的课后进阶习题。新高考命题组将高一的奇偶对称拓扑与高二的指数复合函数导数进行了齐次缝合。这在高等数学中属于**“算子的奇偶对称性引发特征函数的凹凸性与极值对流”**在初等微积分中的极简投影。
2. 结论推广：（基于奇对称复合函数的“极值对流决策网”）：设通用奇函数在正半轴满足 $F(x)=(x^2-{\alpha }^2){\text{e}}^x+C$ （其中 $\alpha >0$ ）：

• 该系统的一阶导数在正半轴的单调变号驻点恒刚性死锁满足方程： $x^2+2x-{\alpha }^2=0$。
• 若算得正半轴的极小值点为 $x_0$，则由该对称网络的不变量拓扑防线宣告：其负半轴对应的相反数位置 $x=-x_0$ 恒无条件、刚性升级为该全域函数的极大值点（波峰）。其波峰的绝对坐标高度恒满足对流方程： $F(-x_0)\equiv 2C-F(x_0)$

1. 方法推广：本题所展现的“抓住局部图象特征通过几何对称不变量平移复原全域、利用穿轴零点拦截超越不等式范围”的思想，具有极强的跨章节迁移特性。不仅是选择题保分的硬核铠甲，未来当这一代数重组技术高阶变异至解答题最后一关 17 分终极导数压轴大题中的“利用导数单调性研究双变量函数的取值范围”、或者是解析几何大题中“利用曲线关于坐标轴对称消去齐次高阶干扰元”时，其底层的解题算力——“抓住图形的核心几何对称中心，引入单调性不变量消除系统的冗余空间自由度，实现高维超越空间向静态一元不等式的平滑坍塌”，其数形转换的代数变形本质完全同调。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-20 解-绝对值分段函数
• 2014-辽宁卷文-10 单-分段函数不等式
• 1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质