2026-北京卷-06 单-向量的模

本题导读

本题考查平面向量模的最值求解。题目给出了一个恒定向量和一个模长受限的差向量，要求未知向量模的最大值。此题可以通过“几何轨迹法”将向量化为圆的动点模型直观求解，也可以利用“三角不等式法”通过代数放缩实现一步秒杀。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）已知向量 $\vec{a}=(2,0)$， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}-\vec{b}|=2$，则 $|\vec{b}|$ 的最大值为()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何思维建模：

• 设定坐标原点为 $O$。向量 $\vec{a}=(2,0)$ 可以看作从原点指向定点 $A(2,0)$ 的有向线段 $\overrightarrow{OA}$，其模长 $|\vec{a}|=2$。
• 设向量 $\vec{b}$ 为动向量 $\overrightarrow{OB}$，其终点为 $B$。
• 差向量的模 $|\vec{a}-\vec{b}|=|\overrightarrow{BA}|=2$，在几何上代表动点 $B$ 到定点 $A$ 的距离恒等于 2。因此，动点 $B$ 的轨迹是以 $A(2,0)$ 为圆心， $r=2$ 为半径的圆。
• 目标量 $|\vec{b}|=|\overrightarrow{OB}|$ 代表圆上的动点 $B$ 到原点 $O$ 的距离。最值显见于原点、圆心与动点三点共线时。

2. 代数思维放缩：

• 将目标向量拆分为已知向量的组合： $\vec{b}=\vec{a}-(\vec{a}-\vec{b})$。
• 直接套用向量三角不等式定理 $|\vec{x}+\vec{y}|\le |\vec{x}|+|\vec{y}|$ 实施宏观上界控制。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：几何法（数形结合）

在平面直角坐标系中，设向量 $\vec{a},\vec{b}$ 的起点均为坐标原点 $O(0,0)$。

• 向量 $\vec{a}=(2,0)$ 的终点为定点 $A(2,0)$，则定长 $|OA|=\sqrt{2^2+0^2}=2$。
• 设向量 $\vec{b}$ 的终点为动点 $B(x,y)$。

根据向量减法的几何意义，差向量 $\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$。 已知 $|\vec{a}-\vec{b}|=2⟹|\overrightarrow{BA}|=2$。 这表明动点 $B$ 到定点 $A$ 的距离恒为 2，即动点 $B$ 的几何轨迹是以 $A(2,0)$ 为圆心，半径 $r=2$ 的圆。 该圆的方程为： $(x-2{)}^2+y^2=4$。

目标量 $|\vec{b}|$ 表示动点 $B$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离 $|OB|$。 根据点与圆的位置关系性质，平面上任意一点到圆上动点距离的最大值，等于该点到圆心的距离加上圆的半径： $|OB{|}_{\max }=|OA|+r$ 代入已知数据 $|OA|=2,r=2$ 得： $|OB{|}_{\max }=2+2=4$

所以， $|\vec{b}|$ 的最大值为 4。

方法二：三角形不等式法

为了利用已知条件 $|\vec{a}|=2$ 和 $|\vec{a}-\vec{b}|=2$，我们将目标向量 $\vec{b}$ 进行恒等变形构造： $\vec{b}=\vec{a}-(\vec{a}-\vec{b})$

根据平面向量的三角形不等式，对于任意两个向量 $\vec{m},\vec{n}$，恒有： $|\vec{m}-\vec{n}|\le |\vec{m}|+|\vec{n}|$

令 $\vec{m}=\vec{a}$， $\vec{n}=\vec{a}-\vec{b}$，代入不等式可得： $|\vec{b}|=|\vec{a}-(\vec{a}-\vec{b})|\le |\vec{a}|+|\vec{a}-\vec{b}|$

将已知模长代入： $|\vec{b}|\le 2+2=4$

检验等号成立条件： 当且仅当向量 $\vec{a}$ 与向量 $-(\vec{a}-\vec{b})$ 同向，即 $\vec{a}$ 与 $\vec{a}-\vec{b}$ 方向相反时，等号严格成立。 由于 $\vec{a}=(2,0)$，当 $\vec{a}-\vec{b}=(-2,0)$ 时，可解得 $\vec{b}=(4,0)$，此时 $|\vec{b}|=4$ 完美符合。 因此， $|\vec{b}|$ 的最大值为 4。

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量减法的几何图示（共起点时指向被减数）；点到圆上动点距离的最值定理；向量三角不等式（$|\vec{m}\pm \vec{n}|\le |\vec{m}|+|\vec{n}|$）的应用界限。
2. 核心方法：数形结合轨迹法、代数配凑放缩法。
3. 避坑指南：在使用三角不等式放缩时，学生容易在符号转化上产生迷茫（如错写为 $|\vec{a}-\vec{b}|\le |\vec{a}|-|\vec{b}|$ 导致无法求出上界）。牢记要求最大值必须使用能扩出加号的不等式方向，通过构造 $\vec{b}=\vec{a}+(\vec{b}-\vec{a})$ 再放大为 $|\vec{a}|+|\text{-}(\vec{a}-\vec{b})|$，是确保方向正确的标准代数流向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是平面向量中关于“动向量模长最值”的经典变式题。这类题型广泛存在于高考全国卷、新高考卷的选择填空题中，属于中档偏易的综合技巧题。
2. 结论推广： 对于任意已知定向量 $\vec{a}$ 和满足条件 $|\vec{a}-\vec{b}|=R$ （$R$ 为常数）的动向量 $\vec{b}$：

• $|\vec{b}|$ 的最大值为： $|\vec{a}|+R$；
• $|\vec{b}|$ 的最小值为： $||\vec{a}|-R|$。 此结论在任意高维向量空间（欧几里得空间）中均严格成立，熟记此模型可直接实现零秒看题直出答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-15
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-福建卷理-21