2026-天津卷-07 单-基本不等式

本题导读

本题考查代数式最值的求解。由于自变量条件仅为 $x\ne 0$，包含了正数与负数两种情况，因此不能直接盲目套用正数前提下的基本不等式。核心方法是将代数式展开，通过对偶项合并并利用换元法，将其转化为具有边界限制的一元二次函数最值问题。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）设 $x\ne 0$，则 $\left(x+\frac{1}{x}\right)\cdot \left(x+\frac{4}{x}\right)$ 的最小值为()

A. 10　　　　　　　B. 9　　　　　　　C. 8　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：多项式展开：首先将原多项式乘积展开，得到 $x^2+4+1+\frac{4}{x^2}=x^2+\frac{4}{x^2}+5$。
2. 第二步：识别核心代数结构并换元：令 $t=x^2$。由于 $x\ne 0$，可知 $t>0$。目标代数式转化为关于 $t$ 的函数： $g(t)=t+\frac{4}{t}+5$。
3. 第三步：应用基本不等式求解最值：因为 $t>0$，满足基本不等式“一正、二定、三相等”的适用前提。直接对 $t+\frac{4}{t}$ 使用基本不等式，并严格检验等号成立的边界条件。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

将原代数式展开： $\left(x+\frac{1}{x}\right)\cdot \left(x+\frac{4}{x}\right)=x\cdot x+x\cdot \frac{4}{x}+\frac{1}{x}\cdot x+\frac{1}{x}\cdot \frac{4}{x}$ $=x^2+4+1+\frac{4}{x^2}$ $=x^2+\frac{4}{x^2}+5$

因为 $x\ne 0$，所以 $x^2>0$， $\frac{4}{x^2}>0$。 根据基本不等式（均值不等式） $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ （当且仅当 $a=b$ 时等号成立），令 $a=x^2,b=\frac{4}{x^2}$，有： $x^2+\frac{4}{x^2}\ge 2\sqrt{x^2\cdot \frac{4}{x^2}}=2\sqrt{4}=4$ 即： $x^2+\frac{4}{x^2}+5\ge 4+5=9$

检验等号成立的条件： 当且仅当 $x^2=\frac{4}{x^2}$ 时等号成立。 $⟹x^4=4⟹x^2=2⟹x=\pm \sqrt{2}$ 因为 $\pm \sqrt{2}\ne 0$，说明在自变量的定义域内，等号可以取到。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式结构的展开与对齐；基本不等式公式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 的精准应用；等号成立条件的验证。
2. 核心方法：整体代换换元法。
3. 避坑指南：落入直接对两括号分别硬套基本不等式的经典思维陷阱。

• 若错误地认为： $x+\frac{1}{x}\ge 2$ 且 $x+\frac{4}{x}\ge 4$，从而得出积的最小值为 $2\times 4=8$（错选C）。
• 导致该错误的核心原因在于忽视了等号成立的同步性。前一个等号要求 $x^2=1⟹x=\pm 1$，后一个等号要求 $x^2=4⟹x=\pm 2$。这两组 $x$ 的取值彼此冲突，不可能同时满足，因此最小值绝不可能为 8。求最值时，多项式“能展即展”是防范此类等号冲突的根本策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查新教材必修第一册中“等式性质与不等式”章节的经典对勾函数最值模型，是各类考试中考查基本不等式“等号取值条件”最常用的高频常设陷阱题。
2. 结论推广：对于任意形如 $f(x)=\left(kx+\frac{A}{x}\right)\left(kx+\frac{B}{x}\right)$ ($kx\ne 0,AB>0$) 的代数式，其最值的科学化简标准流程是将其完全展开为： $f(x)=k^2{x}^2+\frac{AB}{k^2{x}^2}+(A+B)$ 在 $AB>0$ 的大前提下，其最值恒由基本不等式锁定，且最小值统一公式为： $f(x{)}_{\min }=2\sqrt{AB}+A+B=(\sqrt{A}+\sqrt{B}{)}^2$ 本题中 $A=1,B=4$，直接套用推广公式可得最小值为 $(\sqrt{1}+\sqrt{4}{)}^2=(1+2{)}^2=9$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-14 填-基本不等式最值
• 1999-全国卷理-17 填-基本不等式求 ab 范围
• 1999-全国卷理-19 解-对数型无理不等式