2026-新高考I卷-04 单-切线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义及其应用。核心意图在于测试学生利用导数工具求解曲线在给定切点处切线斜率的能力，并结合直线的点斜式方程转化为标准斜截式方程完成求解。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）曲线 $y=5x+8\ln x$ 在点 $(1,5)$ 处的切线方程为()

A. $y=3x+2$　　B. $y=5x$　　C. $y=8x-3$　　D. $y=13x-8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：对曲线解析式 $y=5x+8\ln x$ 进行求导，利用求导公式 $(x{)}^{\prime }=1$ 和 $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$，计算出导函数 $y^{\prime }$。
2. 第二步逻辑：根据导数的几何意义，曲线在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率 $k$ 等于导函数在该点横坐标处的函数值，即 $k=y^{\prime }{|}_{x=1}$。代入 $x=1$ 计算出确切斜率。
3. 第三步逻辑：已知切点坐标为 $(1,5)$ 且斜率为 $k$，直接利用直线的点斜式方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 展开并整理成斜截式方程，比对选项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

已知曲线方程为：

$y=5x+8\ln x(x>0)$ 求导：

$y^{\prime }=(5x{)}^{\prime }+(8\ln x{)}^{\prime }=5\times 1+8\times \frac{1}{x}=5+\frac{8}{x}$

根据导数的几何意义，曲线在点 $(1,5)$ 处的切线斜率 $k$ 即为导函数在 $x=1$ 时的值：

$k=y^{\prime }{|}_{x=1}=5+\frac{8}{1}=5+8=13$

已知切线过点 $(1,5)$，且斜率 $k=13$。 则点斜式方程：

$y-5=13(x-1)$

即 $y-5=13x-13⟹y=13x-13+5⟹y=13x-8$

正确答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与切线斜率的映射关系；点斜式方程的代数平移。
2. 核心方法：导数求斜率法。
3. 避坑指南：

• 切点与外部点概念混淆：本题明确指明“在点 $(1,5)$ 处”，说明该点已在曲线上（代入 $5(1)+8\ln 1=5$ 成立），属于已知切点的一元直接问题。若题目表述变为“过点 $(x_0,y_0)$”，则需先设出切点坐标 $(t,f(t))$ 建立方程组，切忌盲目将非切点横坐标直接代入导函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是导数几何意义板块的标杆式基础选择题。其高等数学背景源于微积分学中“多元函数的泰勒一阶展开（线性逼近）”，切线在微分几何中代表曲线在局部坐标域内的最佳线性近似直线。
2. 结论推广： 对于所有形如 $y=ax+b\ln x$ 在切点 $(1,a)$ 处的切线方程求解： 其导函数通式为 $y^{\prime }=a+\frac{b}{x}$，代入 $x=1$ 处的斜率恒为 $k=a+b$。 直接代入点斜式 $y-a=(a+b)(x-1)$，化简后的切线方程通用公式可一元化表述为：

$y=(a+b)x-b$ 本题中 $a=5,b=8$，直接代入通式： $y=(5+8)x-8⟹y=13x-8$

利用此通式结论，在未来的考试中面对此类对数复合切线题，可完全免除求导步骤，实现 2 秒内直接口算输出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 2005-江苏卷-14 填-导数的几何意义
• 2009-大纲卷II理-04
• 2012-广东理-12