2026-新高考II卷-17 解-解三角形

本题导读

本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用。第一问利用三角形内角和定理及诱导公式统一角，结合两角和的余弦公式与同角三角函数基本关系，通过判定最大角的余弦值符号证明钝角三角形；第二问利用面积公式和余弦定理列出关于边长的方程组，解出各边长进而求得周长。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）在 $△ABC$ 中，已知 $\cos B=\frac{3}{4}$ ， ${\cos }^2(A+C)+\sin A\sin C=1$ .

（1）证明： $△ABC$ 为钝角三角形；

（2）若 $△ABC$ 面积为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，求 $△ABC$ 周长.

🔍【思路分析】

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1. 第一问逻辑：在 $△ABC$ 中， $A+B+C=\pi ⟹A+C=\pi -B$。代入已知等式利用诱导公式化简得 ${\cos }^{2}B+\sin A\sin C=1$。利用 ${\cos }^{2}B+{\sin }^{2}B=1$ 转换为 $\sin A\sin C={\sin }^{2}B$。进一步用两角和的余弦公式展开 $\cos B=-\cos (A+C)$，结合已知条件求出 $\cos A\cos C$ 的值，由其符号判定是否存在钝角。
2. 第二问逻辑：由 $\cos B=\frac{3}{4}$ 可求出 $\sin B=\frac{\sqrt{7}}{4}$。利用面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{\sqrt{7}}{4}$ 求出 $ac=2$。再利用余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 结合第一问求得的边长比例关系，解出 $a,b,c$ 的具体值，累加得到周长。

✅【答案】

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(1) 证明见解析 (2) $3+\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 在 $△ABC$ 中，因为 $A+B+C=\pi$ ，所以 $A+C=\pi -B$ 。 根据三角函数的诱导公式，有 $\cos (A+C)=\cos (\pi -B)=-\cos B$ ， 进而可得 ${\cos }^2(A+C)={\cos }^{2}B$ 。 将此代入已知等式 ${\cos }^2(A+C)+\sin A\sin C=1$ 中，得： ${\cos }^{2}B+\sin A\sin C=1$ 由于 ${\cos }^{2}B+{\sin }^{2}B=1$ ，代换可得： $\sin A\sin C=1-{\cos }^{2}B={\sin }^{2}B$ , ① 因为 $\cos B=\frac{3}{4}>0$ ，且 $B\in (0,\pi )$ ，所以： $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}$ 代入 ① 式中，得： $\sin A\sin C={\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)}^2=\frac{7}{16}$, ②

又因为 $\cos B=\frac{3}{4}$ ，由诱导公式得： $\cos (A+C)=-\cos B=-\frac{3}{4}$ 利用两角和的余弦公式展开： $\cos A\cos C-\sin A\sin C=-\frac{3}{4}$

将 ② 式 $\sin A\sin C=\frac{7}{16}$ 代入上式中： $\cos A\cos C-\frac{7}{16}=-\frac{12}{16}⟹\cos A\cos C=-\frac{5}{16}$, ③

因为在 $△ABC$ 中， $\sin A>0,\sin C>0$ ， 由 ③ 式 $\cos A\cos C=-\frac{5}{16}<0$ 可知， $\cos A$ 与 $\cos C$ 必然异号。 由于一个三角形中不可能有两个钝角，故 $A$ 和 $C$ 中必有一个为钝角。 因此， $△ABC$ 为钝角三角形。

（2）因为 $\cos B=\frac{3}{4}$, $B\in (0,\pi )$，所以 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\frac{\sqrt{7}}{4}$， $S_{△ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ac\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4},$ 解得 $ac=2$。 设 $△ABC$ 外接圆半径为 $R$，由正弦定理 $a=2R\sin A$, $c=2R\sin C$ 得 $ac=4R^2\sin A\sin C=4R^2\cdot \frac{7}{16}=\frac{7}{4}{R}^2,$ $\frac{7}{4}{R}^2=2,4R^2=\frac{32}{7}.$ 由正弦定理 $b=2R\sin B$ 得 $b^2=4R^2{\sin }^{2}B=\frac{32}{7}\cdot {\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)}^2=\frac{32}{7}\cdot \frac{7}{16}=2,$ 所以 $b=\sqrt{2}$。 由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 得 $2=a^2+c^2-2\times 2\times \frac{3}{4},a^2+c^2=2+3=5,$ $(a+c{)}^2=a^2+c^2+2ac=5+4=9.$ 因为 $a,c>0$，所以 $a+c=3$，则 $△ABC$ 的周长为 $a+b+c=3+\sqrt{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式对两角和与单角的互化；两角和余弦公式的逆向代入；由余弦值乘积符号判定钝角。
2. 核心方法：恒等变形代换法。
3. 避坑指南：

• 大角判定不严密陷阱：第一问中已知 $\cos B=\frac{3}{4}>0$ 说明 $B$ 为锐角，不能主观认为 $B$ 对应锐角整个三角形就都是锐角三角形。必须严格计算其余两个角余弦值的乘积符号 $\cos A\cos C<0$ 才能作为判定钝角三角形的铁证。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题是解三角形板块的形状判定与周长计算综合题：第一问打破”$\cos B>0$ 即锐角三角形”的思维定势，以 $\cos A\cos C<0$ 判定钝角；第二问融合面积公式、正弦定理与余弦定理求周长。

三角形形状判定中，$\cos A\cos C<0$ 说明 $A$、$C$ 恰一为钝角，是”钝角三角形”的铁证；恒等式 $\sin A\sin C={\sin }^{2}B$（由 ${\cos }^{2}B+\sin A\sin C=1$ 变形而来）结合正弦定理可将角的关系整体转化为边的关系，是”角化边”的典型桥梁。

已知 $\cos B$ 的具体值时，先备好 $\sin B$；面积、周长、边长类设问统一转化为 $ac$ 与 $a+c$ 两个对称代数量，借助韦达式的对称结构整体求解，避免逐项展开。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2009-江西卷理-19
• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列