13.07 四面体的性质

🟦 四面体的性质

一. 常见四面体的性质

1. 三组对棱分别相等的四面体必内接于唯一的长方体，且四面体的棱分别为长方体的面对角线。

2. 正四面体 $P-ABC$ 可以补为正方体，且正方体的棱长 $a=\frac{PA}{\sqrt{2}}$。

3. 若四面体有三条棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内。

4. 若四面体的四个面均是直角三角形，则可将其放入某个长方体内。

5. 三组对棱分别相等的四面体的棱长 $A^{\prime }B、B{C}^{\prime }、A^{\prime }C$ 必构成锐角三角形。

6. 任一四面体内接于唯一的平行六面体，且四面体体积是平行六面体体积的三分之一。

7. $P$ 为 $△ABC$ 所在平面外一点，$O$ 为 $P$ 在平面 $ABC$ 上的射影。

(1) 若 $PA,PB,PC$ 两两互相垂直，则 $O$ 点是 $△ABC$ 的垂心。

(2) 若 $P$ 到 $△ABC$ 三边距离相等，且 $O$ 在 $△ABC$ 内部，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的内心。

(3) 若 $PA\perp BC,PB\perp AC$，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的垂心。

(4) 若 $PA,PB,PC$ 与底面 $ABC$ 成等角，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的外心。

(5) 若 $PA=PB=PC$，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的外心。

(6) 若 $PA=PB=PC$，$\angle C=90^{\circ }$，则点 $O$ 是 $AB$ 边的中点。

(7) 若$\angle PAB=\angle PAC$,$\angle PCB=\angle PCA$,则点 $O$ 是 $△ABC$ 的内心。

8. 若侧棱长相等，则顶点在底面上的射影为其外心，且侧棱与底面的线面角相等（逆命题：顶点在底面上的射影为其外心，或侧棱与底面的线面角相等，则侧棱长相等成立）；
9. 若顶点到下底面三边的距离相等，则顶点在底面上的射影必为其内心（或旁心），且侧面与底面的二面角相等（逆命题：顶点在底面上的射影为其内心（或旁心），或各侧面与底面的二面角相等，则顶点到下底面三边的距离相等成立）； 注：若顶点到下底面中两边 $AB$,$AC$ 的距离相等，则 $P$ 在底面上的射影必在 $\angle BAC$ 平分线上，且侧面与底面的二面角相等，$\angle PAC=\angle PAB$。

10. 若两组对棱分别互相垂直，则第三组对棱必垂直，且任一顶点在其对面上的射影必为其垂心（逆命题：一组对棱垂直，且任一顶点在其对面上的射影为其垂心，则两组对棱分别互相垂直成立）；
11. 连接两组对棱的中点可组成平行四边形 $EGFH$，且另一组对棱与该面距离相等；
12. 过一组对棱（$AB$ 与 $CD$）中点（$E,F$）连线的任一平面（$E,G,F,H$ 共面）必平分其 $V_{A-BCD}$ 体积，即 $V_{AC-BGFH}=V_{BD-BZFH}$；
13. 异面直线 $AC$ 与 $OB$ 所成角 $\theta$ 的公式：$\cos \theta =\frac{||AB{|}^2+|OC{|}^2-|BC{|}^2-|OA{|}^2|}{2\cdot AC\cdot OB}$

二. 正四面体的性质

1. 棱长为 $a$ 的正四面体：

• 内切球半径 $R=\frac{\sqrt{6}}{12}a$
• 外接球半径 $R=\frac{\sqrt{6}}{4}a$
• 棱切球半径 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$
• 正四面体的高：$\mathbf{h}=\frac{\sqrt{6}}{3}\mathbf{a}$

2. 若正四面体的棱长为 $a$，正四面体的外接球半径为 $R$，内切球半径为 $r$，则 $R=\frac{\sqrt{6}}{4}a,r=\frac{\sqrt{6}}{12}a,R:r=3:1.$

3. 若正四面体的棱长为 $a$，高为 $h$，则 $h=\frac{\sqrt{6}}{3}a,R=\frac{3}{4}h,r=\frac{1}{4}h,R:r=3:1.$

三. 克列尔(A.L.Crelle)公式

对任意四面体 $ABCD$，其体积 $V$ 和外接球半径 $R$，满足 $6RV=\sqrt{p(p-a{a}_1)(p-b{b}_1)(p-c{c}_1)}$ 其中 $p=\frac{1}{2}(a{a}_1+b{b}_1+c{c}_1)$，$a,a_1,b,b_1,c,c_1$ 分别为四面体的三组对棱的长。

重新叙述： 设任意四面体 $ABCD$，三组对棱长度依次为： $a=AB,a_1=CD$；$b=AC,b_1=BD$；$c=AD,c_1=BC$。 记半参数： $p=\frac{1}{2}(a{a}_1+b{b}_1+c{c}_1)$ $V$ 为四面体体积，$R$ 为四面体外接球半径，则： $6RV=\sqrt{p(p-a{a}_1)(p-b{b}_1)(p-c{c}_1)}$

证明

1. 四面体补形为平行六面体

任意四面体均可唯一补成平行六面体： 将四面体每组对棱作为平行六面体三组对面的对角线。 设平行六面体从同一顶点出发的三条棱长为 $x,y,z$，三条棱两两夹角为 $\alpha ,\beta ,\gamma$.

四面体对棱与平行六面体棱长关系： $\{\begin{array}{l}{a}^2+a_1^2=2(x^2+y^2)\\ b^2+b_1^2=2(y^2+z^2)\\ c^2+c_1^2=2(z^2+x^2)\end{array}$

2. 体积关系

设平行六面体体积为 $V_{\text{平}}$，则： $V_{\text{平}}=8V$

3. 外接球关系

四面体的外接球 = 对应平行六面体的外接球，球心重合，半径同为 $R$。 平行六面体体对角线为外接球直径： $(2R{)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy\cos \alpha +2yz\cos \beta +2zx\cos \gamma$

4. 平行六面体体积公式

$V_{\text{平}}=xyz\sqrt{\Delta },\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& \cos \alpha & \cos \beta \\ \cos \alpha & 1& \cos \gamma \\ \cos \beta & \cos \gamma & 1\end{array}\right|$

5. 引入四面体对棱乘积形式

记： $x_1=a{a}_1,y_1=b{b}_1,z_1=c{c}_1,p=\frac{1}{2}(x_1+y_1+z_1)$ 待证右侧： $\sqrt{p(p-x_1)(p-y_1)(p-z_1)}$ 此形式为海伦型根式，先利用四面体 Cayley-Menger 行列式与外接球联立。

6. 四面体 Cayley-Menger 行列式（体积）

四面体体积 $V$ 满足： $288V^2=\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& a^2& b^2& c^2\\ 1& a^2& 0& c_1^2& b_1^2\\ 1& b^2& c_1^2& 0& a_1^2\\ 1& c^2& b_1^2& a_1^2& 0\end{array}\right|$

7. 四面体外接球半径公式

$R=\frac{\sqrt{\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& a^2& b^2& c^2\\ 1& a^2& 0& c_1^2& b_1^2\\ 1& b^2& c_1^2& 0& a_1^2\\ 1& c^2& b_1^2& a_1^2& 0\end{array}\right|}}{288V^2}\cdot \sqrt{\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& c^2\\ a^2& 0& c_1^2& b_1^2\\ b^2& c_1^2& 0& a_1^2\\ c^2& b_1^2& a_1^2& 0\end{array}\right|}$

化简得： $(6RV{)}^2=\frac{1}{16}\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& c^2\\ a^2& 0& c_1^2& b_1^2\\ b^2& c_1^2& 0& a_1^2\\ c^2& b_1^2& a_1^2& 0\end{array}\right|$

8.行列式化简（核心步骤）

令三组对棱乘积：$x_1=a{a}_1,y_1=b{b}_1,z_1=c{c}_1$，对四阶行列式做恒等变形、因式分解： 展开并整理该四阶行列式，最终可因式分解为： $\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& c^2\\ a^2& 0& c_1^2& b_1^2\\ b^2& c_1^2& 0& a_1^2\\ c^2& b_1^2& a_1^2& 0\end{array}\right|=4p(p-x_1)(p-y_1)(p-z_1)$ 其中 $p=\frac{1}{2}(a{a}_1+b{b}_1+c{c}_1)$

代入 $(6RV{)}^2$：

$(6RV{)}^2=\frac{1}{16}\cdot 4p(p-a{a}_1)(p-b{b}_1)(p-c{c}_1)$

$(6RV{)}^2=\frac{1}{4}p(p-a{a}_1)(p-b{b}_1)(p-c{c}_1)$

9、结论 两边同时开算术平方根（$R,V,p$ 均为正数）： $6\mathbf{RV}=\sqrt{\mathbf{p}(\mathbf{p}-\mathbf{a}{\mathbf{a}}_1)(\mathbf{p}-\mathbf{b}{\mathbf{b}}_1)(\mathbf{p}-\mathbf{c}{\mathbf{c}}_1)}$

其中 $p=\frac{1}{2}(a{a}_1+b{b}_1+c{c}_1)$ 克列尔公式证毕

补充说明

1. 适用范围：对任意四面体（锐角、钝角、垂心四面体、正四面体）均成立；
2. 结构特点：右侧是类海伦公式形式，仅与三组对棱长度有关；
3. 常用场景：已知四面体三组对棱，不求棱长、直接联立体积与外接球半径；
4. 特殊检验：正四面体 设正四面体棱长为 $m$，则三组对棱均为 $m$： $a{a}_1=b{b}_1=c{c}_1=m^2$

$p=\frac{1}{2}(m^2+m^2+m^2)=\frac{3}{2}{m}^2,p-a{a}_1=\frac{1}{2}{m}^2$

代入右侧： $\sqrt{p(p-a{a}_1{)}^3}=\sqrt{\frac{3}{2}{m}^2\cdot {\left(\frac{1}{2}{m}^2\right)}^3}=\frac{\sqrt{3}}{4}{m}^4$

结合正四面体 $V,R$ 经典公式可验证等式自洽。

四. 异面直线段与四面体体积

已知异面直线段 $AB=a$，$CD=b$，异面直线夹角为 $\theta$，且异面直线距离为 $d$， 则四面体 $ABCD$ 体积为： $V_{ABCD}=\frac{1}{6}abd\sin \theta$。

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方法一：几何补形法（最直观、推荐）

我们可以通过异面直线 $AB$ 和 $CD$ 的公垂线段，构造一个平行六面体，将复杂的四面体体积转化为长方体或平行六面体体积的一部分。

证明步骤：

1. 构造平行六面体： 过线段 $AB$ 的两端点分别作直线平行于 $CD$，过线段 $CD$ 的两端点分别作直线平行于 $AB$。这样可以确定两个相互平行的平面 $\alpha$ 和 $\beta$，使得 $AB\subset \alpha$，$CD\subset \beta$。 以此为基础，可以补成一个平行六面体，使得 $AB$ 和 $CD$ 恰好是这个平行六面体上、下底面的对角线。

2. 利用公垂线与夹角：

   • 因为 $AB$ 和 $CD$ 的距离为 $d$，所以平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 之间的距离就是 $d$。也就是说，这个平行六面体的高 $h=d$。
   • 因为异面直线 $AB$ 和 $CD$ 的夹角为 $\theta$，将 $CD$ 平移到平面 $\alpha$ 后，它与 $AB$ 的夹角即为 $\theta$。

3. 计算平行六面体的底面积： 以 $AB$ 和平移后的 $CD$（记为 $C^{\prime }{D}^{\prime }$）为对角线构成一个平行四边形（即六面体的底面）。 由平面几何知识可知，已知对角线为 $a$ 和 $b$ 且夹角为 $\theta$ 的平行四边形，其面积为： $S_{\text{底}}=\frac{1}{2}ab\sin \theta$

4. 计算平行六面体的体积： $V_{\text{六面体}}=S_{\text{底}}\times h=\frac{1}{2}ab\sin \theta \times d=\frac{1}{2}abd\sin \theta$

5. 建立四面体与六面体的体积关系： 根据空间几何切分原理，一个平行六面体如果沿着对角面切开，刨去四个角上的四个小三棱锥后，中间剩下的核心四面体 $ABCD$ 的体积恰好是整个平行六面体体积的 $\frac{1}{3}$。 因此： $V_{ABCD}=\frac{1}{3}{V}_{\text{六面体}}=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}abd\sin \theta \right)=\frac{1}{6}abd\sin \theta$

证毕。

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方法二：空间向量法（最严谨、代数化）

如果你熟悉空间向量的混合积，这个公式的推导会变得极其丝滑。

证明步骤：

1. 体积的向量表示： 四面体 $ABCD$ 的体积可以用任意三个从同一顶点出发的向量的混合积来表示。以 $A$ 为顶点： $V_{ABCD}=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AD}|$ 根据向量恒等式，这等价于： $V_{ABCD}=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD})\cdot \overrightarrow{AC}|$

2. 引入单位公垂向量： 设 $\vec{n}$ 是异面直线 $AB$ 和 $CD$ 的公垂方向的单位法向量。 根据外积的定义，$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}$ 的方向 trade 垂直于 $AB$ 和 $CD$，也就是说它的方向与 $\vec{n}$ 共线： $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=(|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CD}|\sin \theta )\vec{n}=(ab\sin \theta )\vec{n}$

3. 代入体积公式： 将上式代入体积表达式中： $V_{ABCD}=\frac{1}{6}|(ab\sin \theta )\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{6}ab\sin \theta \cdot |\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}|$

4. 解释几何意义： 注意到 $\vec{n}$ 是公垂方向的单位向量，那么 $\overrightarrow{AC}$ 在 $\vec{n}$ 方向上的投影绝对值 $|\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}|$，本质上就是点 $A$ 到过 $CD$ 且平行于 $AB$ 的平面的距离。 这正是异面直线 $AB$ 和 $CD$ 之间的公垂线段长度 $d$！ 即：$|\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}|=d$

5. 得出结论： $V_{ABCD}=\frac{1}{6}abd\sin \theta$

证毕。

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💡 小结 这个公式非常优美，它把线段长度（$a,b$）、**相对方向（$\theta$）和空间距离（$d$）**完美地结合在了一起。在解决高考压轴题或竞赛题时，如果遇到求已知异面直线相关元素的四面体体积，直接套用此公式往往能秒杀题目。