2007-四川卷文-08 单-向量投影相等定关系

本题导读

本题考查向量数量积的几何意义（投影），以及向量数量积的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 设 $A(a,1)$，$B(2,b)$，$C(4,5)$ 为坐标平面上三点，$O$ 为坐标原点，若 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 在 $\overrightarrow{OC}$ 上的投影相同，则 $a$ 与 $b$ 满足的关系式为 ()

A. $4a-5b=3$　　　B. $5a-4b=3$　　　C. $4a+5b=14$　　　D. $5a+4b=14$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 投影的定义：$\vec{u}$ 在非零向量 $\vec{v}$ 上的投影为 $\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$。
2. 投影相同，即 $\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}=\frac{\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}$，等价于 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$。
3. $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=4a+5$，$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=8+5b$。
4. $4a+5=8+5b$，整理得 $4a-5b=3$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

向量 $\vec{u}$ 在非零向量 $\vec{v}$ 上的投影为 $\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$． $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 在 $\overrightarrow{OC}$ 上的投影相同，即 $\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}=\frac{\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}$，等价于 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$． $\overrightarrow{OA}=(a,1)$，$\overrightarrow{OB}=(2,b)$，$\overrightarrow{OC}=(4,5)$，故 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=4a+5$，　$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=8+5b$． 由 $4a+5=8+5b$，整理得 $4a-5b=3$． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量投影相等定关系

核心方法：投影相同 $⟺\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$，$4a+5=8+5b$

避坑指南：投影相同不是模长相等，是与 $\overrightarrow{OC}$ 方向上的分量相等；$\overrightarrow{OC}\ne \vec{0}$，分母可约

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量投影概念在新课标教材新增后首次进入四川卷

结论推广：推广：$\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 在 $\overrightarrow{OC}$ 上投影相等 $⟺$ $A$，$B$ 在与 $\overrightarrow{OC}$ 垂直的同一直线上

方法推广：涉及”投影、夹角、模长”的向量条件，先统一翻译成数量积语言再代入坐标

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2015-四川卷文-02 单-向量共线
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长