2007-湖北卷文-17 解-三棱锥体积与角

本题导读

本题考查线面垂直。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 如图，在三棱锥 $V-ABC$ 中，$VC\perp$ 底面 $ABC$，$AC\perp BC$，$D$ 是 $AB$ 的中点，且 $AC=BC=a$，$\angle VDC=\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）． （1）求证：平面 $VAB\perp$ 平面 $VCD$； （2）试确定角 $\theta$ 的值，使得直线 $BC$ 与平面 $VAB$ 所成的角为 $\frac{\pi }{6}$．

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$AC=BC$ 且 $D$ 为中点 $\Rightarrow CD\perp AB$；$VC\perp$ 底面 $\Rightarrow VC\perp AB$；故 $AB\perp$ 平面 $VCD$，从而平面 $VAB\perp$ 平面 $VCD$。 （2）面 $VAB\perp$ 面 $VCD$ 交线 $VD$，在面 $VCD$ 内作 $CH\perp VD$ 于 $H$，则 $CH\perp$ 面 $VAB$，$CH=CD\sin \theta =\frac{a}{\sqrt{2}}\sin \theta$；$BC$ 与面成角 $\phi$：$\sin \phi =\frac{CH}{a}=\frac{\sin \theta }{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{4}$。

✅【答案】

点击查看答案

（1）证明见解析；（2）$\theta =\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $AC=BC$，$D$ 是 $AB$ 的中点，所以 $CD\perp AB$（等腰三角形三线合一）． 又 $VC\perp$ 底面 $ABC$，$AB\subset$ 底面，所以 $VC\perp AB$． $AB$ 垂直于平面 $VCD$ 内两条相交直线 $CD$、$VC$，故 $AB\perp$ 平面 $VCD$． 又 $AB\subset$ 平面 $VAB$，所以平面 $VAB\perp$ 平面 $VCD$． （2）由（1）面 $VAB\perp$ 面 $VCD$，交线为 $VD$．在面 $VCD$ 内作 $CH\perp VD$ 于 $H$，则 $CH\perp$ 平面 $VAB$， $CH$ 即 $C$ 到平面 $VAB$ 的距离，且 $CH=CD\sin \theta$． 等腰直角三角形 $ABC$（$AC=BC=a$）中斜边上的中线 $CD=\frac{a}{\sqrt{2}}$，故 $CH=\frac{a}{\sqrt{2}}\sin \theta$． 连接 $BH$，$\angle CBH$ 即直线 $BC$ 与平面 $VAB$ 所成的角， $\sin \angle CBH=\frac{CH}{BC}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}\sin \theta }{a}=\frac{\sin \theta }{\sqrt{2}}.$ 由题设所成角为 $\frac{\pi }{6}$：$\frac{\sin \theta }{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$，$\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$． 又 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，故 $\theta =\frac{\pi }{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥体积与角

核心方法：体积 $V=\frac{1}{3}Sh$；线面角/二面角用坐标法或几何法

避坑指南：三棱锥体积底面积与高要对应；建系时坐标别写错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱锥体积与空间角，立几综合题

结论推广：$V=\frac{1}{3}Sh$；线面角/二面角用坐标法

方法推广：立几：建系求坐标，向量法算角与体积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2007-浙江卷文-20 解-线面垂直与线面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2008-江西卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角