2010-江苏卷-11 填-分段函数不等式

本题导读

考查分段函数。$2x<0$ 时需 $1-x^2>0$；$2x⩾0$ 时需 $1-x^2>2x$，合并得 $(-1,\sqrt{2}-1)$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1,& x⩾0,\\ 1,& x<0,\end{array}$ 则满足不等式 $f(1-x^2)>f(2x)$ 的 $x$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 当 $x<0$：$f(2x)=1$，需 $f(1-x^2)>1$。
2. $1-x^2>0$ 时 $f(1-x^2)=(1-x^2{)}^2+1>1$，得 $-1<x<0$；$1-x^2⩽0$ 时 $f=1$ 不满足。
3. 当 $x⩾0$：$2x⩾0$，$f$ 在 $[0,+\infty )$ 上递增，需 $1-x^2>2x$ 且 $1-x^2⩾0$。
4. $x^2+2x-1<0\Rightarrow 0⩽x<\sqrt{2}-1$。
5. 合并：$-1<x<\sqrt{2}-1$。

✅【答案】

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$(-1,\sqrt{2}-1)$

✍【详细解析】

Abstract

注意 $f$ 在 $(-\infty ,0)$ 上恒为 $1$，在 $[0,+\infty )$ 上为 $x^2+1$ 且单调递增，$f(x)⩾1$。 （i）若 $x<0$，则 $f(2x)=1$，不等式等价于 $f(1-x^2)>1$， 即 $1-x^2>0$（此时 $f(1-x^2)=(1-x^2{)}^2+1>1$），解得 $-1<x<0$； （ii）若 $x⩾0$，则 $2x⩾0$。若 $1-x^2<0$，$f(1-x^2)=1⩽f(2x)$，不满足； 故 $1-x^2⩾0$，由单调性不等式等价于 $1-x^2>2x⟺x^2+2x-1<0⟺-1-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}-1,$ 结合 $x⩾0$ 得 $0⩽x<\sqrt{2}-1$。 合并（i）（ii）：$x$ 的取值范围是 $(-1,\sqrt{2}-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数与函数不等式

核心方法：按 $2x$ 的符号分类，非负段用单调性脱去 $f$

避坑指南：$f$ 在负半轴恒为 $1$、非负半轴为 $x^2+1$：$f(1-x^2)>1$ 要求 $1-x^2>0$ 而不是 $⩾0$；$x⩾0$ 时还要同时满足 $1-x^2⩾0$，漏掉会扩解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数不等式的通法：先分段，再在每段内脱去函数符号。

结论推广：$f$ 在 $[0,+\infty )$ 单调递增是脱 $f$ 的依据。

方法推广：两段的解集最后取并集。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-北京卷文-12 填-分段函数方程
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式