2009-江苏卷-19 解-满意度与基本不等式

本题导读

考查函数应用与基本不等式。$h_{\text{甲}}=h_{\text{乙}}$ 的证明与最值都归结为 $\frac{20x}{(x+20)(x+5)}⩽\frac{4}{9}$，$x=10$ 取等。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 $a$ 元.如果他卖出该产品的单价为 $m$ 元，则他的满意度为 $\frac{m}{m+a}$；如果他买进该产品的单价为 $n$ 元，则他的满意度为 $\frac{a}{n+a}$.如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为 $h_1$ 和 $h_2$，则他对这两种交易的综合满意度为 $\sqrt{h_1{h}_2}$. 现假设甲生产 $A$、$B$ 两种产品的单件成本分别为 $12$ 元和 $5$ 元，乙生产 $A$、$B$ 两种产品的单件成本分别为 $3$ 元和 $20$ 元.设产品 $A$、$B$ 的单价分别为 $m_A$ 元和 $m_B$ 元，甲买进 $A$ 与卖出 $B$ 的综合满意度为 $h_{\text{甲}}$，乙卖出 $A$ 与买进 $B$ 的综合满意度为 $h_{\text{乙}}$.

(1) 求 $h_{\text{甲}}$ 和 $h_{\text{乙}}$ 关于 $m_A$、$m_B$ 的表达式；当 $m_A=\frac{3}{5}{m}_B$ 时，求证：$h_{\text{甲}}=h_{\text{乙}}$；

(2) 设 $m_A=\frac{3}{5}{m}_B$，当 $m_A$、$m_B$ 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(3) 记 (2) 中最大的综合满意度为 $h_0$，试问能否适当选取 $m_A$、$m_B$ 的值，使得 $h_{\text{甲}}⩾h_0$ 和 $h_{\text{乙}}⩾h_0$ 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 甲买进 $A$ 满意度 $\frac{12}{m_A+12}$、卖出 $B$ 满意度 $\frac{m_B}{m_B+5}$，综合取几何平均；乙同理。
2. (2) 令 $m_B=x$，$h_{\text{甲}}^2=h_{\text{乙}}^2=\frac{20x}{(x+20)(x+5)}$，由 $(x+20)(x+5)-45x=(x-10{)}^2⩾0$ 得上界 $\frac{4}{9}$。
3. (3) $h_{\text{甲}}{h}_{\text{乙}}⩽h_0^2$：若两式同时成立则 $h_{\text{甲}}{h}_{\text{乙}}⩾h_0^2$，只能都取等。

✅【答案】

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(1) $h_{\text{甲}}=\sqrt{\frac{12m_B}{(m_A+12)(m_B+5)}}$，$h_{\text{乙}}=\sqrt{\frac{20m_A}{(m_A+3)(m_B+20)}}$；(2) $m_B=10$，$m_A=6$，最大综合满意度为 $\frac{2}{3}$；(3) 不存在，见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 甲买进 $A$ 的满意度为 $\frac{12}{m_A+12}$，卖出 $B$ 的满意度为 $\frac{m_B}{m_B+5}$，所以 $h_{\text{甲}}=\sqrt{\frac{12m_B}{(m_A+12)(m_B+5)}}$。 乙卖出 $A$ 的满意度为 $\frac{m_A}{m_A+3}$，买进 $B$ 的满意度为 $\frac{20}{m_B+20}$，所以 $h_{\text{乙}}=\sqrt{\frac{20m_A}{(m_A+3)(m_B+20)}}$。 当 $m_A=\frac{3}{5}{m}_B$ 时，令 $m_B=x>0$，则 $h_{\text{甲}}^2=\frac{12x}{\left(\frac{3}{5}x+12\right)(x+5)}=\frac{20x}{(x+20)(x+5)}$， $h_{\text{乙}}^2=\frac{20\cdot \frac{3}{5}x}{\left(\frac{3}{5}x+3\right)(x+20)}=\frac{20x}{(x+20)(x+5)}$。 由于两者均为正数，故 $h_{\text{甲}}=h_{\text{乙}}$。 (2) 仍令 $m_B=x>0$。由上面的化简，$h_{\text{甲}}^2=h_{\text{乙}}^2=\frac{20x}{(x+20)(x+5)}$。 又 $(x+20)(x+5)-45x=(x-10{)}^2⩾0$，所以 $h_{\text{甲}}^2=h_{\text{乙}}^2⩽\frac{4}{9}$。 等号当且仅当 $x=10$。因而当 $m_B=10$，$m_A=6$ 时，甲、乙两人的综合满意度同时取得最大值，且最大值为 $\frac{2}{3}$。 (3) 由 (2) 知 $h_0=\frac{2}{3}$。对任意正的 $m_A$，$m_B$，有 $h_{\text{甲}}^2{h}_{\text{乙}}^2=\frac{12m_A}{(m_A+12)(m_A+3)}\cdot \frac{20m_B}{(m_B+5)(m_B+20)}$。 而 $\frac{12m_A}{(m_A+12)(m_A+3)}⩽\frac{4}{9}$（等价于 $(m_A-6{)}^2⩾0$），以及 $\frac{20m_B}{(m_B+5)(m_B+20)}⩽\frac{4}{9}$（等价于 $(m_B-10{)}^2⩾0$）。 于是 $h_{\text{甲}}{h}_{\text{乙}}⩽\frac{4}{9}=h_0^2$。若同时有 $h_{\text{甲}}⩾h_0$ 和 $h_{\text{乙}}⩾h_0$，则必有 $h_{\text{甲}}{h}_{\text{乙}}⩾h_0^2$，从而两边均取等号。 这要求 $m_A=6$，$m_B=10$，此时 $h_{\text{甲}}=h_{\text{乙}}=h_0$。因此不存在使两个不等式同时成立而等号不同时成立的取值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式与函数建模

核心方法：满意度定义列式，$h^2$ 降幂配方

避坑指南：$(x+20)(x+5)-45x=(x-10{)}^2⩾0$ 是全题枢纽。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：满意度模型以几何平均综合两种交易。

结论推广：(1) 代换后两个表达式同分母化；(3) 用乘积上界卡死同时成立。

方法推广：买进满意度是 $\frac{a}{n+a}$（成本比价格），与卖出方向相反，套错式子全题崩。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-12 填-基本不等式最值
• 2012-浙江卷文-09 单-基本不等式最值
• 2013-四川卷文-13 填-基本不等式取等