2008-江苏卷-23 解-二项式定理求导

本题导读

阅读理解型证明题：示范”对恒等式两边求导”的思想，第(1)问照做并移项；第(2)问三次赋值/再求导/组合恒等式 $\frac{1}{k+1}{\mathrm{C}}_n^k=\frac{1}{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}^{k+1}$ 分别证三式。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 请先阅读：在等式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$（$x\in \mathbf{R}$）的两边对 $x$ 求导，$(\cos 2x{)}^{\prime }=(2{\cos }^{2}x-1{)}^{\prime }$.由求导法则得 $(-\sin 2x)\cdot 2=4\cos x\cdot (-\sin x)$，化简得等式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

(1)利用上述想法（或者其他方法），试由等式 $(1+x{)}^n={\mathrm{C}}_n^0+{\mathrm{C}}_n^{1}x+{\mathrm{C}}_n^2{x}^2+\cdots +{\mathrm{C}}_n^n{x}^n$（$x\in \mathbf{R}$，整数 $n⩾2$）证明：$n\left[(1+x{)}^{n-1}-1\right]={\sum }_{k=2}^{n}k{\mathrm{C}}_n^k{x}^{k-1}$；

(2)对于正整数 $n⩾3$，求证： ①${\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k}k{\mathrm{C}}_n^k=0$； ②${\sum }_{k=1}^n(-1{)}^k{k}^2{\mathrm{C}}_n^k=0$； ③${\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k+1}{\mathrm{C}}_n^k=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 对二项式两边求导，右端 $k=1$ 项是常数 ${\mathrm{C}}_n^1=n$，移走即得。
2. ①再求导一次后令 $x=-1$；②对①的变形继续：二阶导后令 $x=-1$，与①式相加用 $k(k-1)+k=k^2$。
3. ③用 $\frac{1}{k+1}{\mathrm{C}}_n^k=\frac{1}{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}^{k+1}$ 化为部分和，套二项式定理。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

证明： (1)对 $(1+x{)}^n={\mathrm{C}}_n^0+{\mathrm{C}}_n^{1}x+{\mathrm{C}}_n^2{x}^2+\cdots +{\mathrm{C}}_n^n{x}^n$ 两边关于 $x$ 求导，得 $n(1+x{)}^{n-1}={\mathrm{C}}_n^1+2{\mathrm{C}}_n^{2}x+3{\mathrm{C}}_n^3{x}^2+\cdots +n{\mathrm{C}}_n^n{x}^{n-1}$。 由于 ${\mathrm{C}}_n^1=n$，移去右端第一项即得 $n\left[(1+x{)}^{n-1}-1\right]={\sum }_{k=2}^{n}k{\mathrm{C}}_n^k{x}^{k-1}$。 (2)①对展开式两边求导：$n(1+x{)}^{n-1}={\sum }_{k=1}^{n}k{\mathrm{C}}_n^k{x}^{k-1}$。 令 $x=-1$，由 $n⩾3$ 知 $n-1⩾2$，左端为 $0$，故 ${\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k-1}k{\mathrm{C}}_n^k=0$，两边同乘 $-1$ 即得①。 ②对展开式两边求两次导：$n(n-1)(1+x{)}^{n-2}={\sum }_{k=2}^{n}k(k-1){\mathrm{C}}_n^k{x}^{k-2}$。 令 $x=-1$，左端为 $0$，得 ${\sum }_{k=2}^n(-1{)}^{k-2}k(k-1){\mathrm{C}}_n^k=0$，即 ${\sum }_{k=2}^n(-1{)}^{k}k(k-1){\mathrm{C}}_n^k=0$。 又 $k=1$ 时 $k(k-1)=0$，故可写成 ${\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k}k(k-1){\mathrm{C}}_n^k=0$，与①相加， 利用 $k(k-1)+k=k^2$ 得 ${\sum }_{k=1}^n(-1{)}^k{k}^2{\mathrm{C}}_n^k=0$。 ③由组合数定义，$\frac{1}{k+1}{\mathrm{C}}_n^k=\frac{1}{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}^{k+1}$，于是 ${\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k+1}{\mathrm{C}}_n^k=\frac{1}{n+1}{\sum }_{k=0}^n{\mathrm{C}}_{n+1}^{k+1}=\frac{1}{n+1}\left({\sum }_{j=0}^{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}^j-{\mathrm{C}}_{n+1}^0\right)=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理与求导赋值

核心方法：对恒等式求导、赋值，组合恒等式化部分和

避坑指南：$k=1$ 项 ${\mathrm{C}}_n^1=n$ 是移项对象，别留在和式里；$x=-1$ 赋值要求 $n⩾3$ 保证左端为零。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2014 江苏卷第 23 题、2009 江西文第 6 题同为二项式与组合数证明。

结论推广：对恒等式求导是生成组合数恒等式的通用机器。

方法推广：赋值法选 $x=0,1,-1$ 各有用途；组合恒等式 $\frac{1}{k+1}{\mathrm{C}}_n^k=\frac{1}{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}^{k+1}$ 值得单独记忆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-06 单-二项式定理整除
• 2014-江苏卷-23 解-复合函数求导
• 2013-大纲卷文-05 单-二项式定理
• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数