2009-四川卷理-18 解-古典概型

本题导读

本题是一道经典的概率与统计大题。考查核心在于对题干中文本数据的提炼分类，第一问利用古典概型与分类讨论思想求解概率，第二问考查超几何分布模型下随机变量分布列与期望的规范求解。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 $\frac{3}{4}$ 是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有 $\frac{1}{3}$ 持金卡，在省内游客中有 $\frac{2}{3}$ 持银卡．

(1) 在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；

(2) 在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 $\xi$，求 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E\xi$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数据梳理：先计算出旅游团中省外、省内游客的人数，以及各自持金卡、银卡和未持卡的人数。
2. 第一问：抽取的 3 人中“恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人”，说明银卡人数可为 0 或 1。按此要求分类计数，结合古典概型公式求解。
3. 第二问：明确目标群体仅为“省内游客”（共 9 人），其中持银卡 6 人，未持银卡 3 人。随机变量 $\xi$ 服从超几何分布，可能的取值为 0, 1, 2, 3。分别求出对应的概率，列出表格并应用期望公式计算。

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全团持金卡共 $9$ 人，持银卡共 $6$ 人，两卡皆无者共 $18+3=21$ 人

✍【详细解析】

Abstract

根据题意进行数据梳理：

• 旅游团总人数为 $36$ 人；
• 省外游客人数为 $36\times \frac{3}{4}=27$ 人，其中持金卡人数为 $27\times \frac{1}{3}=9$ 人，不持金卡人数为 $27-9=18$ 人；
• 省内游客人数为 $36-27=9$ 人，其中持银卡人数为 $9\times \frac{2}{3}=6$ 人，不持银卡人数为 $9-6=3$ 人；
• 综上，全团持金卡共 $9$ 人，持银卡共 $6$ 人，两卡皆无者共 $18+3=21$ 人．

(1) 设“恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人”为事件 $A$． 从 36 人中随机采访 3 人的总方法数为 ${\mathrm{C}}_{36}^3$． 根据条件，持银卡者少于 2 人包含以下两种互斥情况： ① 选出的 3 人中：1 人持金卡，0 人持银卡，2 人无卡．方法数为 ${\mathrm{C}}_9^1\cdot {\mathrm{C}}_6^0\cdot {\mathrm{C}}_{21}^2=9\times 1\times 210=1890$； ② 选出的 3 人中：1 人持金卡，1 人持银卡，1 人无卡．方法数为 ${\mathrm{C}}_9^1\cdot {\mathrm{C}}_6^1\cdot {\mathrm{C}}_{21}^1=9\times 6\times 21=1134$．

因此，符合条件的总方法数为 $1890+1134=3024$． 事件 $A$ 的概率为： $P(A)=\frac{{\mathrm{C}}_9^1\cdot {\mathrm{C}}_6^0\cdot {\mathrm{C}}_{21}^2+{\mathrm{C}}_9^1\cdot {\mathrm{C}}_6^1\cdot {\mathrm{C}}_{21}^1}{{\mathrm{C}}_{36}^3}=\frac{3024}{7140}=\frac{36}{85}$

(2) 省内游客共 9 人，其中持银卡 6 人，不持银卡 3 人．从这 9 人中随机采访 3 人，持银卡的人数 $\xi$ 的可能取值为 $0,1,2,3$．

各个取值的概率计算如下： $P(\xi =0)=\frac{{\mathrm{C}}_6^0\cdot {\mathrm{C}}_3^3}{{\mathrm{C}}_9^3}=\frac{1}{84}$ $P(\xi =1)=\frac{{\mathrm{C}}_6^1\cdot {\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_9^3}=\frac{6\times 3}{84}=\frac{18}{84}=\frac{3}{14}$ $P(\xi =2)=\frac{{\mathrm{C}}_6^2\cdot {\mathrm{C}}_3^1}{{\mathrm{C}}_9^3}=\frac{15\times 3}{84}=\frac{45}{84}=\frac{15}{28}$ $P(\xi =3)=\frac{{\mathrm{C}}_6^3\cdot {\mathrm{C}}_3^0}{{\mathrm{C}}_9^3}=\frac{20}{84}=\frac{5}{21}$

所以，$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

数学期望为： $E\xi =0\times \frac{1}{84}+1\times \frac{18}{84}+2\times \frac{45}{84}+3\times \frac{20}{84}=\frac{18+90+60}{84}=\frac{168}{84}=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分类计数原理的应用；超几何分布模型的概率计算与期望计算。
2. 核心方法：列表归纳数据法，分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 第一问中容易误将“省外不持金卡者”和“省内不持银卡者”孤立看待，需将两部分没有持任何卡的人数进行相加（$18+3=21$）合并作为“无卡池”进行抽取；
• 第二问的抽样群体发生了切换，审题时需注意是“在该团的省内游客中”，分母总数应由 36 变更为 9，切忌因思维惯性直接沿用 36。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题以当年社会热点（2008地震后2009年四川振兴旅游业发行熊猫卡）为现实背景进行建模，体现了数学与生活的紧密结合。题型设计属于课本中“超几何分布”与“古典概型”章节标准的复习综合大题。
2. 结论推广：对于标准的超几何分布模型，从含有 $M$ 个某类元素的 $N$ 个总元素中随机抽取 $n$ 个，所抽到该类元素数目 $\xi$ 的期望公式恒满足：$E\xi =n\cdot \frac{M}{N}$。本题中 $n=3,M=6,N=9$，直接利用性质公式可验证 $E\xi =3\times \frac{6}{9}=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-12 填-古典概型概率
• 2013-辽宁卷理-19 解-古典概型的概率计算
• 2014-天津卷理-16 解-古典概型及其概率计算公式